数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[11]: 広義積分 / Page: 0]

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■46087 / inTopicNo.1)

　広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(1回)-(2014/07/02(Wed) 17:36:55)

∫[0,+∞]sin(x^2)dxが収束していることを示すにはどうすればいいのでしょうか？

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■46117 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 広義積分

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□投稿者/ みずき一般人(22回)-(2014/07/03(Thu) 00:04:32)

∫[0,+∞]sin(x^2)dx=∫[0,1]sin(x^2)dx+∫[1,∞]sin(x^2)dx
において、
0≦∫[0,1]sin(x^2)dx≦∫[0,1]x^2dx=1/3

十分大きなAに対して、
∫[1,A]sin(x^2)dx
=∫[1,A^2]sint*dt/(2√t) (←x^2=tと置換)
=1/2∫[1,A^2](-cost)'dt/√t
=1/2[(-cost)/√t]_[1,A^2]-1/2∫[1,A^2](-cost)*(-1/2)*t^(-3/2)dt
=(1/2)(-cos(A^2)/A+cos1)-1/4∫[1,A^2]{(cost)*t^(-3/2)}dt

ここで、
lim_(A→∞){(1/2)(-cos(A^2)/A+cos1)}=(cos1)/2

さらに、
|∫[1,A^2]{(cost)*t^(-3/2)}dt|
≦∫[1,A^2]|(cost)*t^(-3/2)|dt
≦∫[1,A^2]|t^(-3/2)|dt
=∫[1,A^2]t^(-3/2)dt
=[-2/√t]_[1,A^2]
=2-2/A
なので、
-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2

以上により、∫[0,+∞]sin(x^2)dxは収束します。

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■46118 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(2回)-(2014/07/03(Thu) 00:44:45)

すみません、
> ∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt
これは何故収束するのですか？

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■46119 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 広義積分

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□投稿者/ らすかる軍団(130回)-(2014/07/03(Thu) 00:49:10)

「さらに、」からを読めばわかるのでは？

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■46120 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 広義積分

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□投稿者/ みずき一般人(23回)-(2014/07/03(Thu) 01:27:27)

2014/07/03(Thu) 01:28:37 編集(投稿者)

今気づきましたが、この問題は、次のように簡単に示せますね。

y=sin(x^2) (x≧0)のグラフは、「波状」のグラフで
各「こぶ」の面積は、xが大きくなるにつれて小さくなり、0に収束します。
よって、交代級数のライプニッツの収束判定法により、
∫[0,∞]sin(x^2)dxは収束します。

蛇足ですが、∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt が収束することも同様に言えます。

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■46121 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(3回)-(2014/07/03(Thu) 08:00:37)

■No46119に返信(らすかるさんの記事)
> 「さらに、」からを読めばわかるのでは？

？？？
-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
だけで、何故収束してると言えるのですか？

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■46122 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 広義積分

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□投稿者/ らすかる軍団(131回)-(2014/07/03(Thu) 09:55:59)

-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
という式は
「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtが-2から2の間の値に収束する」
という意味だと思います。

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■46123 / inTopicNo.8)

　Re[6]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(4回)-(2014/07/03(Thu) 10:02:00)

さらに、以降でどうやって∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtの収束が示されているのか
よく分らないので、詳しく教えていただけないでしょうか…

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■46124 / inTopicNo.9)

　Re[7]: 広義積分

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□投稿者/ らすかる軍団(132回)-(2014/07/03(Thu) 10:29:35)

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■46125 / inTopicNo.10)

　Re[8]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(5回)-(2014/07/03(Thu) 10:50:19)

なるほど！
よくわかりました。
ありがとうございます。

「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtが-2から2の間の値に収束する」
この確認はなぜ必要なのですか？

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■46127 / inTopicNo.11)

　Re[9]: 広義積分

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□投稿者/ らすかる軍団(133回)-(2014/07/03(Thu) 11:21:23)

その式は
「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtは収束する」
という意味で書いているものと思いますが、上の式から
-2と2の間であることもわかっていますので
その式を書いたのだと思います。
書いた本人ではありませんので推測に過ぎませんが。

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■46129 / inTopicNo.12)

　Re[1]: 広義積分

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□投稿者/ みずき一般人(24回)-(2014/07/03(Thu) 15:58:52)

2014/07/03(Thu) 17:27:06 編集(投稿者)

＞目細工さん

私の回答でいろいろと混乱させてしまったようですみません。

-2≦∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dt≦2
という式は
「∫[1,∞]{(cost)*t^(-3/2)}dtが-2から2の間の値に収束する」
という意味で書きましたが、ちょっと言葉足らずでしたね。
基本的にらすかるさんがおっしゃっている通りです。
（納得されているようなので、詳細は省略させていただきます。）

ところで、交代級数による証明はご覧になりましたでしょうか？
（こちらの方が計算を必要としないという点でbetterかと思われますので）

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■46130 / inTopicNo.13)

　Re[2]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(6回)-(2014/07/03(Thu) 16:28:13)

2014/07/03(Thu) 16:52:51 編集(投稿者)

交代級数による証明ですが、理解できるような理解できないような、という感じです。

sin(x^2)=0の正の解をa[1],a[2],a[3],…とすると、
A[n]=∫[0,a[n]]sin(x^2)dx (n=1,2,3,…)という数列が収束していることの証明ですよね？
f(A)=∫[0,A]sin(x^2)dxという関数のA→∞の収束を示しているのでしょうか？

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■46132 / inTopicNo.14)

　Re[3]: 広義積分

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□投稿者/ みずき一般人(25回)-(2014/07/03(Thu) 17:21:56)

A(n)の積分区間が0からになっていますが、そうすると示しづらいと思います。
また、sin(x^2)=0となるようなxは具体的に書けるので、
以下のようにした方が見やすいかと思います。

sin(x^2)=0となるのは、x^2=nπ
すなわち、x=√(nπ)（ただし、nは非負整数）のときです。

ここで、
a[n]=|∫[√(nπ),√{(n+1)π}]sin(x^2)dx|
とおけば、
√{(n+1)π}-√(nπ)
=(√{(n+1)π}-√(nπ))(√{(n+1)π}+√(nπ))/(√{(n+1)π}+√(nπ))
=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
→0 (n→∞)
により、{a[n]}は単調減少で、0に収束します。

よって、
∫[0,√{(N+1)π}]sin(x^2)dx=Σ[n=0,N](-1)^n*a[n]
は、N→∞のとき収束します。

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■46133 / inTopicNo.15)

　Re[4]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(7回)-(2014/07/03(Thu) 18:50:07)

a[n]→0は分かったのですが、
なぜa[n]は単調減少なのでしょうか？

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■46135 / inTopicNo.16)

　Re[5]: 広義積分

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□投稿者/ みずき一般人(26回)-(2014/07/03(Thu) 19:03:23)

■No46133に返信(目細工さんの記事)
> a[n]→0は分かったのですが、
> なぜa[n]は単調減少なのでしょうか？

√{(n+1)π}-√(nπ)=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
が単調減少だから、です。

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■46136 / inTopicNo.17)

　Re[6]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(8回)-(2014/07/03(Thu) 19:07:24)

2014/07/03(Thu) 19:10:17 編集(投稿者)

■No46135に返信(みずきさんの記事)
> ■No46133に返信(目細工さんの記事)
>>a[n]→0は分かったのですが、
>>なぜa[n]は単調減少なのでしょうか？
>
> √{(n+1)π}-√(nπ)=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
> が単調減少だから、です。

√{(n+1)π}-√(nπ)が単調減少だから、とだけではよく分らないのですが…

a[n]≦√{(n+1)π}-√(nπ)
a[n+1]≦√{(n+2)π}-√{(n+1)π}
から
a[n]≧a[n+1]
が言えるのですか？

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■46137 / inTopicNo.18)

　Re[7]: 広義積分

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□投稿者/ みずき一般人(27回)-(2014/07/03(Thu) 19:15:48)

言えないと思います。

私の回答の意図は、
a[n]=|∫[√(nπ),√{(n+1)π}]sin(x^2)dx|
で、
a[n]の積分区間である
√{(n+1)π}-√(nπ)=π/(√{(n+1)π}+√(nπ))
が単調減少なので、{a[n]}は単調減少する、ということです。
sin(x^2)のグラフを考えれば、納得されると思いますが。

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■46138 / inTopicNo.19)

　Re[8]: 広義積分

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□投稿者/ 目細工一般人(9回)-(2014/07/03(Thu) 19:28:53)

式でa[n]が単調減少であること証明できますでしょうか？
グラフを考えてもあまり明らかと思えないので…

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■46139 / inTopicNo.20)

　Re[9]: 広義積分

▲　■

□投稿者/ みずき一般人(28回)-(2014/07/03(Thu) 19:35:24)

一応、図はこちら(↓)で。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%5E2%29

私には式で示すことはできないと思うので、ここで辞退させていただきます。

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