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■46046 / inTopicNo.1)  三次関数
  
□投稿者/ サラシナ 一般人(1回)-(2014/06/29(Sun) 10:41:29)
    f(x)=(x+1)(x-1)(x-k)(k≧1)とし、三次関数y=f(x)をLとおく。
    (-1,0)と(1,0)におけるLの接線とy=0で囲まれる三角形の面積をS、
    Lの接線y=a(a>0)とx=-1とx=1とy=0で囲まれる長方形の面積をTとすると、
    S<Tが成り立つことを示せ、という問題なのですが教えて下さい。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/
■46049 / inTopicNo.2)  Re[1]: 三次関数
□投稿者/ みずき 一般人(15回)-(2014/06/29(Sun) 20:38:36)
    2014/06/30(Mon) 17:00:51 編集(投稿者)
    2014/06/29(Sun) 20:42:57 編集(投稿者)

    f(x)=(x^2-1)(x-k)=x^3-kx^2-x+kにより、f'(x)=3x^2-2kx-1
    よって、点(±1,0)におけるLの接線の方程式は、y=(2干2k)(x干1)(複号同順)
    この2直線の交点は(-1/k,2(k^2-1)/k)なので、S=1/2*{1-(-1)}*2(k^2-1)/k=2(k^2-1)/k

    一方、y=a(a>0)とLとの接点のx座標αは、f'(x)=0の2解のうちの小さい方だから、
    α=(k-√(k^2+3))/3
    よって、T=2a
    ただし、
    a=f(α)=α^3-kα^2-α+k=(α/3-k/9)(3α^2-2kα-1)+(-2/3-2k^2/9)α+8k/9
    =(-2/3-2k^2/9)α+8k/9={-2k^3+18k+2(k^2+3)^(3/2)}/27

    以上により、k≧1において、
    S<T⇔f(k)=2(k^2+3)^(3/2)-2k^3-9k+27/k>0 を示します。
    f'(k)=-9-27/k^2-6k^2+6k√(3+k^2)
    f''(k)
    =6(9/k^3-2k+k^2/√(3+k^2)+√(3+k^2))
    =6{9k^3+(2k^2+3-2k√(k^2+3))/√(3+k^2)}
    >6(9k^3) (∵2k^2+3>2k√(k^2+3)⇔(2k^2+3)^2>4k^2(k^2+3)⇔9>0)
    >0
    よって、f'(k)は単調増加で、f'(1)=-30<0
    lim[k→∞]f'(k)=lim[k→∞]{-9-27/k^2+18/(1+√(1+3/k^2))}=-9-0+18*1/2=0
    よって、k≧1でf'(k)<0
    よって、f(k)は単調減少で、f(1)=32>0
    lim[k→∞]f(k)
    =lim[k→∞]{2(k^2+3)^(3/2)-2k^3-9k+27/k}
    =lim[k→∞][27/k+{(2(k^2+3)^(3/2))^2-(2k^3+9k)^2}/{2(k^2+3)^(3/2)+(2k^3+9k)}]
    =lim[k→∞][27/k+27(k^2+4)/{2(k^2+3)^(3/2)+(2k^3+9k)}]
    =0+0
    =0
    よって、k≧1においてf(k)>0

    # 鮮やかな解き方があるのかもしれません。
引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/



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