 | 2014/06/30(Mon) 17:48:38 編集(投稿者)
2014/06/29(Sun) 19:35:08 編集(投稿者)
2014/06/29(Sun) 19:24:17 編集(投稿者)
b=0のとき、a+d≦cとa＞0に注意して、
c/(a+b)+b/(c+d)=c/a≧(a+d)/a=1+d/a≧1
たとえば、(a,b,c,d)=(1,0,1,0)のとき、c/(a+b)+b/(c+d)=1
以下、b＞0とします。
a/b=A,c/b=C,d/b=Dとおくと、a+d≦b+c⇔A+D≦1+C⇔D≦1+C-A ・・・①
よって、c/(a+b)+b/(c+d)=C/(A+1)+1/(C+D)≧C/(A+1)+1/(1+2C-A)=f(A,C)
①よりDが存在するには、0≦1+C-A⇔C≧A-1 ・・・②が必要。
以下では、A≧0を定数、Cを②を満たす変数とみなしてf(A,C)=f(C)の最小値を求めます。
f'(C)=(-1-4A+A^2+4C-4AC+4C^2)/{(1+A)(-1+A-2C)^2}だから、
f'(C)の符号は g(C)=-1-4A+A^2+4C-4AC+4C^2 の符号と一致します。
g(C)=0⇔C=(A-1±√(2A+2))/2=α,β（α＜β）
さて、α≧A-1かつA≧0を満たすAは存在しないことに注意してAの値で場合分けします。
（Ⅰ）
0≦A≦1のとき、②とC≧0より、C≧0です。
増減表により、このとき最小値は
f(A,β)=1/2-1/(1+A)+√{2/(1+A)}≧√2-1/2≒0.91421（等号成立はA=0のとき）
以下では、β≧A-1かつA＞1⇔1＜A≦2+√5に注意します。
（Ⅱ）
1＜A≦2+√5のとき、β≧A-1なので、増減表により、このときの最小値は
f(A,β)=1/2-1/(1+A)+√{2/(1+A)}≧1/2+√{2/(3+√5)}-1/(3+√5)≒0.92705（等号成立はA=2+√5のとき）
（Ⅲ）
A＞2+√5のとき、β＜A-1なので、増減表により、このときの最小値は
f(A,A-1)=(A-1)/(A+1)+1/(A-1)≧√2-1/2（等号成立はA=3+2√2のとき）
以上(Ⅰ)～(Ⅲ)により、c/(a+b)+b/(c+d)の最小値は√2-1/2と分かります。
（たとえば、(a,b,c,d)=(0,2,√2-1,√2+1)のとき）
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