 | 簡単のため、自然数kに対し、kを10進数表記したときの各桁の数の和をS(k)とおきます。
（前者について）
aはaの倍数なので、S(a)はaの倍数でなくてはいけません。
ところが、aが2桁以上のときは、aの桁数をpとして
a=c[p-1]*10^(p-1)+・・・+c[1]*10+c[0]
(0≦c[0],・・・,c[p-1]≦9,c[p-1]≠0)とおくと、p≧2から
a=Σ[j=0,p-1]c[j]*10^(j)＞Σ[j=0,p-1]c[j]=S(a)となります。
よって、0＜S(a)＜aとなるので、S(a)はaの倍数となりません。
よって、aは1桁であることが必要です。
a=2,4,5,6,7,8のときはそれぞれ10,12,10,12,14,16が反例になります。
a=1,3,9のときは十分なので、答えは、a=1,3,9のみ。
（後者）
対偶を考え、
「任意の自然数mについて、S(m)がbの倍数ならば、mはbの倍数である」
を満たすようなbを求めます。
m_1=111・・・101 (左端から1がb-1個並んでいる)
m_2=111・・・110 (左端から1がb個並んでいる)
という2つの数を考えます。
S(m_1)=S(m_2)=bなので、m_1もm_2もbの倍数です。
よって、m_2-m_1=9もbの倍数となり、bは9の約数なので、b=1,3,9が必要です。
これらは十分なので、答えは、b=1,3,9のみ。
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