| xが0に近いときということは x=1/tとおいてtが大きいときに t/√(1+t)+2t/(2+t)>2log(1+t) であることを言えばいいわけですよね。
e>√7なのでe^8>2401 t=2401とすると t/√(1+t)+2t/(2+t) =2401/√2402+4802/2403 >2401/50+1 >49 >18 =2log(e^9) >2log(1+e^8) >2log(1+t) なので不等式が成り立ちます。 そして上で求めたf'(t)の式で、 t>8のとき t^6-4t^5-20t^4-32t^3-16t^2 >8t^5-4t^5-20t^4-32t^3-16t^2 =4t^5-20t^4-32t^3-16t^2 >32t^4-20t^4-32t^3-16t^2 =12t^4-32t^3-16t^2 >96t^3-32t^3-16t^2 =64t^3-16t^2 >512t^2-16t^2 =496t^2 >0 からf'(t)<0 ですから、 少なくともt≧2401では t/√(1+t)+2t/(2+t)>2log(1+t) が成り立つことがわかります。
# tが大きいとき、左辺は約√t、右辺は約2logtですから # 直感的には明らかですね。
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