 | 集合の包含関係A⊂Bを示すには、「x∈A⇒x∈B」を示すことになります。
(1)x∈D(m)∩D(n)とすると、x∈D(m)かつx∈D(n)である。
x∈D(m)は、「xがmの約数」という意味なので、ある整数dがあって、
m=xdと表せる。同様にして、
x∈D(n)から、ある整数eがあって、n=xeと表せる。
よって、m+n=x(d+e)となる。d+eは整数なので、ｘはm+nの約数。
ゆえに、x∈D(m+n)
(2)x∈D(m)∪D(n)とすると、x∈D(m)またはx∈D(n)
①x∈D(m)ならば、ある整数ｄがあって、m=xdと表せる。
よって、mn=x(nd)となり、ndは整数なので、xはmnの約数になる。
ゆえに、x∈D(mn)
②x∈D(n)ならば、ある整数eがあって、n=xeと表せる。
よって、mn=x(me)となり、meは整数なので、xはmnの約数になる。
ゆえに、x∈D(mn)
したがって、いずれにしても、x∈D(mn)
(3)
①「m∈D(n)⇒D(m)⊂D(n)」を示す。
x∈D(m)とすると、ある整数dがあって、m=xdと表せる。
m∈D(n)という仮定から、xd∈D(n)となる。
よって、ある整数eがあって、n=xedと表せるのでxはnの約数
ゆえに、x∈D(n)
②「D(m)⊂D(n)⇒m∈D(n)」を示す。
mはmの約数と考えれば、m∈D(m)である。
仮定から、m∈D(n)である。
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