 | 2014/06/28(Sat) 19:46:37 編集(投稿者)
2014/06/28(Sat) 19:34:02 編集(投稿者)
|n(n-2m-5/2)|≦aを同値変形すると、|n-5/2-2m|≦a/n ・・・A
ここで、n=2m+b(bは整数)とおくと、n≧1より、(1-b)/2≦m ・・・B
Aにより、|(2m+b)-5/2-2m|≦a/(2m+b)
∴m≦a/(2|5/2-b|)-b/2=f(b) ・・・C
よって、mが存在するためには、B,Cにより
(1-b)/2≦a/(2|5/2-b|)-b/2
∴5/2-a≦b≦5/2+a
∴-a+3≦b≦a+2（∵a,bは整数）・・・D
となることが必要です。
さて、Dのもとでf(b)の最大値を求めます。
5/2-b＞0⇒-a+3≦b≦2のとき、
f(b)=a/(5-2b)-b/2=(b^2-5b/2+a)/(5-2b)
∴f'(b)=(-2b^2+10b-25/2+2a)/(5-2b)^2
-2b^2+10b-25/2+2a=0の判別式は16a＞0なので、
f(b)の最大値は、f(2)とf(-a+3)の大きい方で、f(2)=a-1
5/2-b＜0⇒3≦b≦a+2のとき、
f(b)=a/(2b-5)-b/2=(-b^2+5b/2+a)/(2b-5)
∴f'(b)=(-2b^2+10b-25/2-2a)/(2b-5)^2
-2b^2+10b-25/2-2a=0の判別式は-16a＜0なので、
f(b)の最大値は、f(3)=a-3/2
以上により、f(b)の最大値は、f(2)=a-1と分かるので、
Cにより、m≦a-1となります。
よって、mの最大値はa-1で、このとき n=2m+2=2(a-1)+2=2a
（なお、このとき十分です）
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