 | 証明が難しそうなのでプログラムを作ってしらみつぶしに調べたら、
反例が見つかりましたので残念ながら命題は成り立ちませんでした。
a＜b＜c≦100000で反例は以下の6個です。
(a,b,c)=(1,4,924),(1,4,18240),(1,12,48984),(1,144,28084),
(4,9,33292),(4,64,4032)
しかし、a＜b＜c≦100000で
「ab+a+b, bc+b+c, ca+c+aがすべて平方数」を満たすのは23570組あり、
そのうち23564組は「ab+c, bc+a, ca+bがすべて平方数」を満たして
いましたので、「ab+a+b, bc+b+c, ca+c+aがすべて平方数」を満たす組は
かなり高い確率で「ab+c, bc+a, ca+bがすべて平方数」を満たすようです。
命題を満たさないのはどういう場合なのか興味がありますが、
論理的に考えるのは難しそうですね。
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