数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[14]: 恒等式(?)の証明を教えてください。 / Page: 0]

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■45901 / inTopicNo.1)

　恒等式(?)の証明を教えてください。

□投稿者/ いるか一般人(1回)-(2014/06/08(Sun) 17:52:38)

複素係数のn変数の同次多項式を

f(x_1,x_2,…,x_n):=Σ_{m_1,m_2,…,m_n∈{0,1,…,n}, m_1+m_2+…+m_n=n} c_{m_1,m_2,…,m_n}x_1^m_1x_2^m_2…x_n^m_n

とする (c_{m_1,m_2,…,m_n}は各項の係数を表す).

この時,
任意の実数x_1,x_2,…,x_nに対して,常にf(x_1,x_2,…,x_n)が実数なら,
各係数c_{m_1,m_2,…,m_n}は全て実数となる.

を証明したいのですがどうすればいいのでしょうか?
是非,ご教示ください。

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■45904 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ ミツコ一般人(5回)-(2014/06/08(Sun) 23:26:07)

次の命題を示せば十分だと思う。
多分。

f(X)∈C[X]は、∀x∈Rに対しf(x)∈R
⇒f(X)∈R[X]

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■45905 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ いるか一般人(2回)-(2014/06/09(Mon) 00:38:55)

> f(X)∈C[X]は、∀x∈Rに対しf(x)∈R
> ⇒f(X)∈R[X]

今,n個の任意の実数x_1,x_2,…,x_nに対して,f(x_1,x_2,…,x_n)は実数となるのだからx_1=x_2=…=x_n=xという場合に対しても,
f(x,x,…,x)は実数になるので
f(x,x,…,x)=Σ_{m_1,m_2,…,m_n∈{0,1,…,n}, m_1+m_2+…+m_n=n} c_{m_1,m_2,…,m_n}x^nも実数,
この時, c_{m_1,m_2,…,m_n}も実数となる.

という事でしょうか?

うーん,例えば,
f(x,y):=c_1x+c_2xy+c_3yにおいて,
任意のxに対して,
f(x,x)=(c_1+c_3)x+c_2x^2が実数のとき,c_1もc_2もc_3も実数とはそう簡単には言えないと思うのですが,,,

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■45910 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ ミツコ一般人(10回)-(2014/06/09(Mon) 01:47:04)

そういうことではなくて、、、

その前に確認したいんですけど
> f(x,y):=c_1x+c_2xy+c_3y
これ正しいですか？
問題文からすると
f(x,y):=c_1x^2+c_2xy+c_3y^2
となりそうですが…

わたくしが言いたいのは、たとえばn=3のとき
f(x,y,z)=ax^3+by^3+cz^3+dx^2y+ey^2z+fz^2x+gxy^2+hyz^2+izx^2+jxyz
の(y,z)∈R^2を任意に固定して、xで整理すると
ax^3+(dy+iz)x^2+(gy^2+jyz+fz^2)x+(by^3+ey^2z+hyz^2+cz^3)
No45904が正しければ、任意の実数y,zに対して
a, dy+iz, gy^2+jyz+fz^2, by^3+ey^2z+hyz^2+cz^3
はみな実数となる。ここでまたz∈Rを任意に固定して、うしろ3つをyで整理すると
dy+iz
gy^2+(jz)y+fz^2
by^3+(ez)y^2+(hz^2)y+cz^3
またNo45904より、
d, iz, g, jz, fz^2, b, ez, hz^2, cz^3
が任意のzに対して実数となる。
さらにNo45904より、
i, j, f, e, h, c
が実数となることがわかる、ということです。
一般のnでも同じ感じじゃないかと思うのですが、
どうでしょう。

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■45911 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ いるか一般人(3回)-(2014/06/09(Mon) 12:54:51)

> その前に確認したいんですけど
>>f(x,y):=c_1x+c_2xy+c_3y
> これ正しいですか？
> 問題文からすると
> f(x,y):=c_1x^2+c_2xy+c_3y^2
> となりそうですが…

あっと,そうでした。仰る通りです。

『f(X)∈C[X]は、∀x∈Rに対しf(x)∈R
⇒f(X)∈R[X]』

の意味がいみいち分かりません。
これは,n=3の場合なら,
f(x,y,z)にて,f(x,y_0,z_0)が任意の実数xに対して,実数値を取り(y_0,z_0は任意の実数定数),
同時に, f(x_0,y,z_0)が任意の実数yに対して,実数値を,
f(x_0,y_0,z)が任意の実数zに対して,実数値を取るならば,
f(x,y,z)の全係数は実数である。
という主張でしょうか?

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■45912 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ ミツコ一般人(11回)-(2014/06/09(Mon) 13:02:30)

『f(X)∈C[X]は、∀x∈Rに対しf(x)∈R
⇒f(X)∈R[X]』

これは1変数多項式についての主張です。

a[0]～a[n]を複素数とする。多項式
f(x)=a[0]+a[1]x+…+a[n]x^n
が任意の実数に対して実数値をとるならば、
a[0]～a[n]は実数である、という主張です。

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■45913 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ いるか一般人(4回)-(2014/06/10(Tue) 03:06:47)

有難うございます。

> a[0]～a[n]を複素数とする。多項式
> f(x)=a[0]+a[1]x+…+a[n]x^n
> が任意の実数に対して実数値をとるならば、
> a[0]～a[n]は実数である、という主張です。

なるほどです。添付ファイルのように証明してみました(日本語が出なかったので英語ですみません)。
これで大丈夫でしょうか?

1236×835 => 250×168

1402337207.jpg/156KB

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■45914 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ いるか一般人(5回)-(2014/06/10(Tue) 03:08:14)

続きです。

1201×472 => 250×98

hoge1.jpg/76KB

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■45915 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ ミツコ一般人(12回)-(2014/06/10(Tue) 13:09:07)

これはご自分で考えた証明ということですか？

Lemma0から色々引っかかるのですが、たとえば
x[k]^k = cx[l]^l
から
x[k]^(k-l) = c
となっていますけど、x[l] はどこに消えたのですか？

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■45916 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ いるか一般人(6回)-(2014/06/10(Tue) 14:11:58)

> これはご自分で考えた証明ということですか？

はい,さようです。

> x[k]^k = cx[l]^l
> から
> x[k]^(k-l) = c
> となっていますけど、x[l] はどこに消えたのですか？

失礼致しました。添数は不要でした(訂正した添付ファイルをアップさせていただきます)。

Lemma0の主張は
同変数でも次数が異なれば一次独立になる
というものです。

1126×201 => 250×44

hoge2.jpg/41KB

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■45940 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ ミツコ一般人(19回)-(2014/06/14(Sat) 12:19:52)

1,x,x^2,…,x^r が線形従属のとき、なんでいきなり x^k=cx^l となるのかよくわかりません…。

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■45949 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ いるか一般人(7回)-(2014/06/18(Wed) 11:13:01)

おっと,そうでした。都合のよい場合だけ考えてました。

1,x,x^2,…,x^rが一次従属なら, c_0+c_1x+c_2x^2+c_rx^r=0とした時,
(i) (0,…,0,c_i,0,…,0)=(c_0,…,c_r)∈R^r (但し,c_i≠0)の場合,
c_ix^i=0なのでc_i=0となり,矛盾.
(ii) 0≠(0,…,0,c_i,0,…,0,c_j,0…,0)=(c_0,…,c_r)∈R^r (但し,c_ic_j≠0)の場合,
c_ix^i+c_jx^j=0で,
x_{i-j}=-c_j/c_i:定数で左辺に矛盾.
(iii) 0≠(0,…,0,c_i,0,…,0,c_j,0,…,0,c_k,0…,0)=(c_0,…,c_r)∈R^r (但し,c_ic_jc_k≠0)の場合,
c_ix^i+c_jx^j+c_kx^k=0で,
c_ix^{i-k}+c_jx^{j-k}=c_k:定数. と書け,両辺を微分すると,
(i-k)c_ix^{i-k-1}+(j-k)c_jx^{j-k-1}=0で(ii)に帰着.
:
後,同様に議論.

従って, 1,x,x^2,…,x^rは一次独立.

としてみましたがいかがてしょうか?

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■45975 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ ミツコ一般人(20回)-(2014/06/26(Thu) 12:09:58)

荒削りではありますが、まあ良いと思います。

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■46323 / inTopicNo.14)

　Re[13]: 恒等式(?)の証明を教えてください。

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□投稿者/ いるか一般人(13回)-(2014/07/11(Fri) 06:09:43)