 | ■No4580に返信(陣さんの記事)
> 下の問題をお願いします。
> > 三角形ＯＡＢとてんＰがある。
> ベクトル（ＯＡ、ＯＢ、ＯＰ）をa、b、ｐとするとき
> a･p=a･b、(p-a)･(p-b)=0、2|p-a|=|p+2a|はそれぞれ
> どのような軌跡を描くか？
> > >
問題の前提がはっきりしないので、O が原点、A, B は固定で、P が動くときの軌跡を求める問題で、p は三角形OABを含む平面上の平面ベクトルと解釈していますが違ったら言ってください。
a・p = a・b ⇔ a・(p - b) = 0 なので BP は OA に直交します。特に p = b なら a・(p - b) = 0 なので P は B を通り OA に直交する直線を描きます。
(p - a)･(p - b) = 0 から AP と BP は直交します。角APBが一定で A, B は固定されているので円周角の性質から P の軌跡は円弧の一部になるはずですが、APBが直角なので円周角の定理からするとその中心角は180度です。ここから P の軌跡は AB を直径とする円であることが分かります。
2|p - a| = |p + 2a| は OC = -2a となる点を C とおくと、AP と CP の長さの比が 1:2 であるということを意味しますので、P の軌跡は AC を 1:2 に内分する点と 1:2 に外分する点を直径とする円（アポロニウスの円）です。
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