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■45795 / inTopicNo.1) 　教えてくださいおねがいします。
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□投稿者/ 最小値 一般人(1回)-(2014/04/20(Sun) 22:22:35)


    a>0とする。x,yの連立方程式
    ay=x−x^3, ax=y−y^3
    がx>0,y>0,x≠yを満たす解(x,y)を持つようなaの範囲を求めよ。
    よくわからないので教えてください。よろしくお願いします。

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■45796 / inTopicNo.2) 　Re[1]: 教えてくださいおねがいします。
□投稿者/ らすかる 一般人(46回)-(2014/04/21(Mon) 00:10:38)
    f(x)=x-x^3 のグラフを考えると、f(0)=f(1)=0、0≦x≦1で上に凸であり
    f'(x)=1-3x^2 から f'(0)=1ですから
    a≧1のときは条件を満たす解がないことがわかります。
    a＜1のとき、少なくともx=y＞0である解が存在し、
    その解を求めるとx=y=√(1-a)です。
    次に、ay=x-x^3とax=y-y^3を足してx+yで割るとx^2-xy+y^2=1-a
    このyに(x-x^3)/aを代入して整理すると(x^2+a-1)(x^4-x^2+a^2)=0
    x^2+a-1=0の解は上で求めたx=yである解なので
    x^4-x^2+a^2=0が解を持たなければなりません。
    判別式からa≦1/2となりますが、a=1/2のときx=y=√(1-a)と同じ解
    つまり三重解ですので条件を満たしません。
    a＜1/2のとき異なる2解を持ち、条件を満たします。
    従って条件を満たすaの範囲は0＜a＜1/2です。
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■45797 / inTopicNo.3) 　Re[2]: 教えてくださいおねがいします。
□投稿者/ 最小値 一般人(2回)-(2014/04/21(Mon) 01:02:26)
    らすかるさんありがとうございました。またよろしくお願いします。
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