数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[6]: 数列 / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■45762 / inTopicNo.1)

　数列

□投稿者/ waka 一般人(5回)-(2014/03/14(Fri) 17:40:02)

負でない整数Nが与えられたとき、a_1=N, a_{n+1}=[a_n/2] (n=1,2,3,･･･)として数列{a_n}を定める。ただし、[a]は、実数aの整数部分(k≦a<k+1となる整数k)を表す。
（１）a_3=1となるようなNをすべて求めよ。
（２）0≦N<2^{10}をみたす整数Nのうちで、Nから定まる数列{a_n}のある項が2となるようなものはいくつあるか。

という問題で、（２）の解答での質問です。

　解答は
　　[x/2]はxを2で割った商を表すので、a_nはNを2^{n-1}で割った商である。
　　　
　　　したがって、a_n=[N/2^{n-1}] ・・・①

　　　　この①が成り立つ理由がわかりません。お願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45763 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数列

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(35回)-(2014/03/14(Fri) 18:21:25)

> [x/2]はxを2で割った商を表すので、a_nはNを2^{n-1}で割った商である。
これが理解できていて

> したがって、a_n=[N/2^{n-1}] ・・・①
これがわからないということですか？

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45772 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数列

▲▼■

□投稿者/ waka 一般人(6回)-(2014/03/15(Sat) 13:46:33)

■No45763に返信(らすかるさんの記事)
>>[x/2]はxを2で割った商を表すので、a_nはNを2^{n-1}で割った商である。
> これが理解できていて
>
>>したがって、a_n=[N/2^{n-1}] ・・・①
> これがわからないということですか？

そういうことなんですけど・・・
よろしくお願いします。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45773 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 数列

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(40回)-(2014/03/15(Sat) 18:12:33)

[x/2] = (xを2で割った商) が理解できているのであれば、一般に
[a/b] = (aをbで割った商)（a,bは整数）も大丈夫ですよね？
（もしかして、[x/2]はわかるが[a/b]はわからないということですか？）
これが大丈夫ならば
(Nを2^(n-1)で割った商) = [N/2^(n-1)] なので
「a[n]はNを2^(n-1)で割った商である」 ⇔ a[n] = [N/2^(n-1)]
も同じことなのですが、この中のどこがわからないのでしょうか。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45774 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 数列

▲▼■

□投稿者/ waka 一般人(7回)-(2014/03/15(Sat) 19:08:49)

■No45773に返信(らすかるさんの記事)
> [x/2] = (xを2で割った商) が理解できているのであれば、一般に
> [a/b] = (aをbで割った商)（a,bは整数）も大丈夫ですよね？
> （もしかして、[x/2]はわかるが[a/b]はわからないということですか？）
> これが大丈夫ならば
> (Nを2^(n-1)で割った商) = [N/2^(n-1)] なので
> 「a[n]はNを2^(n-1)で割った商である」 ⇔ a[n] = [N/2^(n-1)]
> も同じことなのですが、この中のどこがわからないのでしょうか。

何度もすみません。

(Nを2^(n-1)で割った商) = [N/2^(n-1)] なので
> 「a[n]はNを2^(n-1)で割った商である」 ⇔ a[n] = [N/2^(n-1)]
という部分は分かります。
　質問は、どうしてN(初項)を2^{n-1}で割ったときの商がa_nに等しいのかという質問です。何か自分は勘違いしていると思うのですが・・・。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45775 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 数列

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(41回)-(2014/03/15(Sat) 20:09:26)

では
> [x/2]はxを2で割った商を表すので、a_nはNを2^{n-1}で割った商である
これがわからないということですね？

おそらく
Nを2で割って、商の整数部を2で割って、その商の整数部を2で割った商と
Nを2^3で割った商が等しいということが言えるかどうか直感的にわからない
といった意味だと思いますが、この例で言えば
1回目に割った余りは1/2以下なので
余りも含めてもう一度割ると、1回目の余りは半分になって1/4以下となります。
それに2回目の余り（1/2以下）を足しても1未満ですから、
結局「2で割った商をさらに2で割った商」と「2^2で割った商」は
必ず同じになります。
さらにもう1回2で割ると、
最後の余り≦1/2
その前の余りの半分≦1/4
その前の余りの1/4≦1/8
ですから、これをいくら繰り返しても余りの合計が1に達することはありません。
よって「2で割って小数部を切り捨てる」をn回行った結果と
「2^nで割って小数部を切り捨てる」の結果は等しくなります。

他の説明も書いてみます。
「2で割る」が「10で割る」だと、多分直感的にわかりやすいと思います。
例えば N=314159265 だとすると
[N/10]=[31415926.5]=31415926
[[N/10]/10]=[3141592.6]=3141592
[[[N/10]/10]/10]=[314159.2]=314159
[[[[N/10]/10]/10]/10]=[31415.9]=31415
[[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]=[3141.5]=3141
[[[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]/10]=[314.1]=314
[[[[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]/10]/10]=[31.4]=31
[[[[[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]/10]/10]/10]=[3.1]=3
つまり「10で割った整数部」というのは「最下位1桁を除いた数」ですから、
8回繰り返せば当然3になります。一方
[N/10^8]=[3.14159265]=3
つまり「10^8で割った整数部」というのは「下位8桁を除いた数」ですから
「10で割った整数部」を8回と結果が同じになります。
2進法で考えれば「2で割った場合」も全く同じように説明できますが、
2進法に慣れていない場合は直感的にはわかりにくいかも知れませんね。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45777 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 数列

▲▼■

□投稿者/ waka 一般人(8回)-(2014/03/19(Wed) 17:30:02)

■No45775に返信(らすかるさんの記事)
> では
>>[x/2]はxを2で割った商を表すので、a_nはNを2^{n-1}で割った商である
> これがわからないということですね？
>
> おそらく
> Nを2で割って、商の整数部を2で割って、その商の整数部を2で割った商と
> Nを2^3で割った商が等しいということが言えるかどうか直感的にわからない
> といった意味だと思いますが、この例で言えば
> 1回目に割った余りは1/2以下なので
> 余りも含めてもう一度割ると、1回目の余りは半分になって1/4以下となります。
> それに2回目の余り（1/2以下）を足しても1未満ですから、
> 結局「2で割った商をさらに2で割った商」と「2^2で割った商」は
> 必ず同じになります。
> さらにもう1回2で割ると、
> 最後の余り≦1/2
> その前の余りの半分≦1/4
> その前の余りの1/4≦1/8
> ですから、これをいくら繰り返しても余りの合計が1に達することはありません。
> よって「2で割って小数部を切り捨てる」をn回行った結果と
> 「2^nで割って小数部を切り捨てる」の結果は等しくなります。
>
> 他の説明も書いてみます。
> 「2で割る」が「10で割る」だと、多分直感的にわかりやすいと思います。
> 例えば N=314159265 だとすると
> [N/10]=[31415926.5]=31415926
> [[N/10]/10]=[3141592.6]=3141592
> [[[N/10]/10]/10]=[314159.2]=314159
> [[[[N/10]/10]/10]/10]=[31415.9]=31415
> [[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]=[3141.5]=3141
> [[[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]/10]=[314.1]=314
> [[[[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]/10]/10]=[31.4]=31
> [[[[[[[[N/10]/10]/10]/10]/10]/10]/10]/10]=[3.1]=3
> つまり「10で割った整数部」というのは「最下位1桁を除いた数」ですから、
> 8回繰り返せば当然3になります。一方
> [N/10^8]=[3.14159265]=3
> つまり「10^8で割った整数部」というのは「下位8桁を除いた数」ですから
> 「10で割った整数部」を8回と結果が同じになります。
> 2進法で考えれば「2で割った場合」も全く同じように説明できますが、
> 2進法に慣れていない場合は直感的にはわかりにくいかも知れませんね。

ありがとうございました。よくわかりました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター