 | 問題は以下の通りです。
k,m,nは整数とし、n≧1とする。mCkを二項係数として,S_k(n),T_m(n)を以下のように定める。
S_k(n)=1^k+2^k+3^k+・・・+n^k, S_k(1)=1 (k≧0)
T_m(n)=mC1S_1(n)+mC2S_2(n)+mC3S_3(n)+・・・+mC(m-1)S_(m-1)(n)=∑[k=1→m-1]mCkS_k(n) (m≧2)
(1)T_m(1),T_m(2)を求めよ。
(2)一般のnに対してT_m(n)を求めよ。
(3)pが3以上の素数の時、S_k(p-1) (k=1,2,3,・・・,p-2)はpの倍数であることを示せ。
(3)ですが、数学的帰納法を使い、S_1(p-1),S_2(p-1) , ・・・が次々にpの倍数になることを確かめることは分かるのですが、
質問①
解説に、途中でp-3という数値が出てきます。これが自然数であるためには、p≧5でなければいけません。このため、p=3の場合だけ別に取り扱います。という説明がよくわかりません。
質問②
質問①と同じかもしれませんが、解答に、
p=3のとき
S_k(p-1)=S_k(2)=1^k+2^k なので
S_1(2)=3 はpの倍数であるから条件を満たす。
というところで、どうして、k=1の場合だけ取り扱うのですか？ k=2だとpの倍数にならないと思うのですが。
よろしくお願いします。
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