 | Qは有理数体と解釈して回答します。
Gは2次体Q(√2)から0を除いた集合です。
Gの要素は実数なので、積が実数同士の乗算の意味なら単位元は1しかありません。
求め方としては単位元をx+y√2, x ∈ Q, y ∈ Q, x^2+y^2 ≠ 0とし、
(x+y√2)(a+b√2) = a+b√2であれば良い訳です。
(xa+2yb)+(xb+ya)√2 = a+b√2
より、
xa+2yb = a・・・・・(1)
xb+ya = b・・・・・(2)
(1)より、(1-x)a = 2yb・・・・・(3)
(2)より、(1-x)b = ya・・・・・(4)
(3)より、2y(1-x)b = {(1-x)^2}a・・・・・(5)
(4)より、2y(1-x)b = 2{y^2}a・・・・・(6)
(5)(6)より、{(1-x)^2}a = 2{y^2}a
a ≠ 0ならば、(1-x)^2 = 2(y^2)
⇒ 1-x = ±(√2)y
1-xとyは有理数なので、上記等式が成立するためには1-x = 0かつy = 0となることが必要です。
これはx^2+y^2 ≠ 0も満たしています。
厳密には(a+b√2)(x+y√2) = a+b√2であることも確認要ですが、
実数同士の乗算は可換なので、大丈夫でしょう。
以上から、単位元x+y√2 = 1+0√2のみです。
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