 | (1)
(ア)よりCを定数として、f(x)+g(x) = ∫2dx = 2x+Cです。
(ウ)(エ)より、f(0)+g(0) = 1-2 = 2*0+Cですので、C = -1です。
よって、f(x)+g(x) = 2x-1となります。
(2)
(f(x))^2+(g(x))^2 = (f(x)+g(x))^2-2f(x)g(x) = (2x-1)^2-2f(x)g(x)です。
(イ)よりDを定数として、
(2x-1)^2-2f(x)g(x) = ∫(4x-2)dx = 2x^2-2x+D
⇒ {4x^2-4x+1}-{2x^2-2x+D} = 2f(x)g(x)
⇒ 2x^2-2x+1-D = 2f(x)g(x)
(ウ)(エ)より、
2f(0)g(0) = 2*1*(-2) = 2*0^2-2*0+1-D
⇒ -4 = 1-D
⇒ D = 5
よって、f(x)g(x) = (2x^2-2x+1-D)/2 = x^2-x-2
(3)
(2)より、f(x)g(x) = (x+1)(x-2)です。
(1)より、f(x)+g(x) = 2x-1 = (x+1)+(x-2)です。
2個の未知数(?)の和と積が分かれば、それらを解に持つ2次方程式を立てられますが、
この問題ではf(x)とg(x)がx+1とx-2の一方と他方であるあることは目視で分かります。
(ウ)よりf(0) = 1ですので、f(x) = x+1です。
(エ)よりg(0) = -2ですので、g(x) = x-2です。
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