 | 2013/10/26(Sat) 21:36:16 編集(投稿者)
x, aは実数でa > 0と解釈して回答します。
先ず計算間違いをしています。
符号(1のべき根)を無視するとしても、(x-ai)/(x+ai)は√((x-ai)/(x+ai)・(x+ai)/(x-ai))ではなく
√((x-ai)/(x+ai)・(x-ai)/(x+ai))ですよね。
強いて式変形すれば、ln|(x-ai)/(x+ai)| = ln|x-ai|-ln|x+ai|とか、
ln|(x-ai)/(x+ai)| = ln|(x-ai)^2/(x^2+a^2)| = 2*ln|x-ai|-ln|x^2+a^2|です。
もう一つ、不定積分の結果はarctan(x)+Cとはならず、(1/a)arctan(a/x)+Cとなると思います。
尚、この積分の場合は複素数を持ち出すまでも無く、x = a*tan(t)と置換積分すれば計算できます。
それで、どうしても(1/(2ai))ln|(x-ai)/(x+ai)|+C以降の計算をして、
(1/a)arctan(a/x)+Cに持ち込みたいというのなら、
オイラーの公式e^(ix) = cos(x)+i*sin(x)をフル活用することになるでしょう。
r = √(x^2+a^2)とおくと、x-ai = r(x/r+i*a/r)です。
(x/r)^2+(a/r)^2 = (x^2+a^2)/(x^2+a^2) = 1ですので、ある実数Aが存在してx/r = cos(A), a/r = sin(A)と表せます。
x-ai = r(cos(A)-i*sin(A)) = r*e^(-iA)となりますので、ln|x-ai| = ln|r*e^(-iA)| = ln(r)-iAです。
実はA = arccos(x/r) = arcsin(a/r)です。
或いは、tan(A) = sin(A)/cos(A) = (a/r)/(x/r) = a/xより、A = arctan(a/x)
以上から、ln|x-ai| = ln(r)-iA = (1/2)ln(x^2+a^2)-i*arctan(a/x)である訳ですね。
以降の計算はスレ主さんに任せますが、
私の書き込みは、最初に述べた通り、符号(1のべき根)を無視してますし、
多価関数である逆三角関数や複素数引数での対数関数を無条件に等号で結ぶなど、
数学的な厳密性を欠く内容であることをご留意ください。
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