 | 2013/10/25(Fri) 10:08:42 編集(投稿者)
括弧を適切に使い式の意味が曖昧にならないようにしましょう。
2n-1/2n = (2n)-(1/2)nという意味ですし、1/√3n+1 = ((1/√3)n)+1という意味です。
・・・ですが、
(1/2)(3/4)(5/6)・・・・{(2n-1)/(2n)} ≦ 1/√(3n+1)
の証明と解釈して回答します。
n = 1の場合、左辺 = 1/2, 右辺 = 1/√(3*1+1) = 1/√4 = 1/2なので、題意は成立します。
kを自然数として、n = kの場合に題意が成立すると仮定します。
つまり、(1/2)(3/4)(5/6)・・・・{(2k-1)/(2k)} ≦ 1/√(3k+1)が数学的帰納法の仮定となります。
不等式の両辺に正の実数である(2(k+1)-1)/(2(k+1))をかけて、
(1/2)(3/4)(5/6)・・・・{(2k-1)/(2k)}{(2(k+1)-1)/(2(k+1))} ≦ {1/√(3k+1)}{(2(k+1)-1)/(2(k+1))}
上記は数学的帰納法の仮定により成立します。
ここで、{1/√(3k+1)}{(2(k+1)-1)/(2(k+1))} ≦ 1/√(3(k+1)+1)であることを証明すれば良い訳です。
不等式の両辺共に正の実数ですから、両辺の2乗の大小を比較しても良いです。
両辺を2乗すると、
{1/(3k+1)}{(2k+1)/(2k+2)}^2 ≦ 1/(3k+4)
⇒ (3k+4)(2k+1)^2 ≦ (3k+1)(2k+2)^2
⇒ 12k^3+28k^2+19k+4 ≦ 12k^3+28k^2+20k+4
⇒ 0 ≦ k
k ≧ 1ですので、最後の不等式は成立します。
よって、元の不等式{1/√(3k+1)}{(2(k+1)-1)/(2(k+1))} ≦ 1/√(3(k+1)+1)も成立することが分かります。
以上から、数学的帰納法により
(1/2)(3/4)(5/6)・・・・{(2n-1)/(2n)} ≦ 1/√(3n+1)
が成立すると言えます。
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