 | P={(x+a)-3c(y+b)}{(x+a)+3c(y+b)}
=(x-3cy+a-3bc)(x+3cy+a+3bc) (A)
Q={(x+11)+4y}{(x+11)+9y}
=(x+4y+11)(x+9y+11) (B)
R=x^2+{(p+2q)y+4}x+2pqy^2+(11p-14q)y-77
=x^2+{(p+2q)y+4}x+(2qy+11)(py-7)
=(x+2qy+11)(x+py-7) (C)
と因数分解できます。
ここでp,qは整数ですので(B)(C)がx,yの一次式の共通因数を持つためには
(B)の因数である
x+4y+11
と(C)の因数である
x+2qy+11
が一致する場合しかありえません。よって係数比較により
2q=4
∴q=2
このとき(C)は
R=(x+4y+11)(x+py-7) (C)'
となりますので(A)と(C)'、(A)と(B)との共通因数に関する条件から
次の二通りの場合が考えられます。
(i)
x-3cy+a-3bcとx+9y+11が一致し、かつ
x+3cy+a+3bcとx+py-7が一致する
(ii)
x+3cy+a+3bcとx+9y+11が一致し、かつ
x-3cy+a-3bcとx+py-7が一致する
(i)のとき
係数比較により
-3c=9 (P)
a-3bc=11 (Q)
3c=p (R)
a+3bc=-7 (S)
(P)(Q)(R)(S)を連立して解くと
(a,b,c,p)=(2,1,-3,-9)
(ii)のとき
係数比較により
3c=9 (P)'
a+3bc=11 (Q)'
-3c=p (R)'
a-3bc=-7 (S)'
(P)(Q)(R)(S)を連立して解くと
(a,b,c,p)=(2,1,3,-9)
以上から
(a,b,c,p,q)=(2,1,3,-9,2),(2,1,-3,-9,2)
となります。
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