 | スレ主さんはもう見てないでしょうが、解けましたので投稿させて頂きます。
x, yは実数と解釈して回答します。
この問題は3点A(0, 0), B(4, 0), C(-3, 1)からの距離の和が最小になる点P(x, y)を見つければ良い訳です。
つまり三角形ABCに対する最短シュタイナー問題と同等な訳です。
三角形に対する最短シュタイナー問題の解説はインターネット上にたくさんありますのでそちらを参考にしてください。
それで、三角形に対する最短シュタイナー問題の解法を理解しているという前提で、この問題の解は以下のようになります。
AB = 4, BC = √50, CA = √10ですから、
cos(∠BAC) = {(AB)^2+(CA)^2-(BC)^2}/{2(AB)(CA)} = {16+10-50}/{2*4*√10} = -3/√10です。
-1 < -3/√10 < -1/2
⇒ cos(π) < cos(∠BAC) < cos(2π/3)
⇒ 2π/3 < ∠BAC < π
です。
つまり三角形ABCの鈍角は120°より大きいので、A, B, Cの3点からの距離の和が最小になる点はA自身です。
距離の和が最小値は(AB)+(CA) = 4+√10です。
以上から、(0, 0)で最小値4+√10となります。
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