 | 2013/08/31(Sat) 11:36:23 編集(投稿者)
格子点というタイトルから、a, b, cは有理数の整数と解釈して回答します。
4a^2+4ab+4b^2 = 4c^2
⇒ (2a+b)^2+3b^2 = (2c)^2
ですので、x = 2a+b, y = b, z = 2cとすれは、x, y, zは有理数の整数です。
x^2+3y^2 = z^2の一般解を考察します。
x, y, zはどの2数を取っても互いに素であるものとします。
# もし、ある2数が1より大きい公約数を持てば、それは残りの数の約数でもあることは容易に示せます。
# 従って、どの2数を取っても互いに素である場合だけを考えても一般性は失われません。
z ≡ 0 (mod 2), x ≡ y (mod 2)ですので、b = y ≡ 1 (mod 2)であることが必要です。
# y ≡ 0 (mod 2)ならば、x ≡ y ≡ 0 (mod 2)より、xとyが互いに素にならないので。
3y^2 = (z-x)(z+x)ですので、z-xとz+xの少なくとも一方は3で割り切れなくてはなりません。
z+xが3で割り切れるとしても一般性は失いません。
# もし、z+xが3で割り切れず、z-xが3で割り切れる場合は、xの符号を反転したものをxとすれば良いので。
ある整数m, nを用いて、z+x = 3m, z-x = nと表せます。
ここで、mとnは互いに素です。
何故なら、g = gcd(m, n)とすると、gは3m+n = 2zと3m-n = 2xの公約数となりますが、
xとzは互いに素ですから、gは2の約数となります。
g = 2と仮定すると、y^2 = mnですので、(g^2)|(y^2)となりますが、y ≡ 1 (mod 2)ですのでこれは不可能です。
よって、g = 1です。
gcd(m, n) = 1とy^2 = mnから、mとnはそれぞれ平方数である必要があります。
s, tを互いに素な整数として、m = s^2, n = t^2とおくと、
x = (3s^2-t^2)/2, y = st, z = (3s^2+t^2)/2となります。
xとzが整数であるためには、s ≡ t (mod 2)であることが必要なので、
互いに素である整数u, vを用いて、s = u+v, t = u-vと表せます。
x = u^2+4uv+v^2, y = u^2-v^2, z = 2(u^2+uv+v^2)となります。
以上から、a = (x-y)/2 = 2uv+v^2, b = y = u^2-v^2, c = z/2 = u^2+uv+v^2
一応検算してみても、(2uv+v^2)^2+(2uv+v^2)(u^2-v^2)+(u^2-v^2)^2 = (uu+uv+vv)^2となりますので、
互いに素でない一般解まで含めると、u, vを互いに素な整数、wを任意の整数として、
a = w(2uv+v^2), b = w(u^2-v^2), c = w(u^2+uv+v^2)となると思います。
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