数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: アステロイド / Page: 0]

数学ナビゲーター掲示板
(現在過去ログ4 を表示中)

[ 最新記事及び返信フォームをトピックトップへ ]

■45493 / inTopicNo.1)

　アステロイド

□投稿者/ sphere 一般人(1回)-(2013/08/18(Sun) 15:57:33)

分かりません

x^2/3+y^2/3=a^2/3 (a>0) について
(1)増減・凹凸などを調べ、概形をえがけ。

(2)この曲線上の点(s,t)(ただしst≠0)における接線とx軸,y軸との交点をそれぞれP,Qとするとき,線分PQの長さを求めよ。

（1）の解答では式を直接微分しているのですが、第二次導関数のy‘‘=1/3(a^2/3)(x^-2/3)(y^-2/3)がどうやって
導かれているのかが分かりません。（x=acos^3t等と置いているわけでもありません）

引用返信/返信 [メール受信/ON] 削除キー/

■45494 / inTopicNo.2)

　Re[1]: アステロイド

▲▼■

□投稿者/ WIZ 付き人(64回)-(2013/08/18(Sun) 22:08:49)

適切に括弧を用いて数式が曖昧にならないようにしましょう。
特にべき乗の演算子^の優先度や結合規則は定義されていないので注意しましょう。

アステロイドということで、x^(2/3)+y^(2/3) = a^(2/3)と解釈して回答します。

y^(2/3) = a^(2/3)-x^(2/3)
⇒ {y^(2/3)}' = (2/3){y^(-1/3)}(y') = -(2/3){x^(-1/3)}
⇒ y' = -{x^(-1/3)}{y^(1/3)}・・・・・(A)
⇒ y'' = -(-1/3){x^(-4/3)}{y^(1/3)}-{x^(-1/3)}(1/3){y^(-2/3)}(y')・・・・・(B)

(B)のy'の部分に(A)を適用すれば、
y'' = (1/3){x^(-4/3)}{y^(1/3)}-(1/3){x^(-1/3)}{y^(-2/3)}(-{x^(-1/3)}{y^(1/3)})
= (1/3){x^(-4/3)}{y^(1/3)}+(1/3){x^(-2/3)}{y^(-1/3)}
= (1/3){x^(-4/3)}{y^(-1/3)}({y^(2/3)}+{x^(2/3)})
= (1/3){x^(-4/3)}{y^(-1/3)}{a^(2/3)}

・・・となるので、y'' = (1/3){a^(2/3)}{x^(-2/3)}{y^(-2/3)}とはならないと思います。

アステロイドのグラフは、y > 0で下に凸、y < 0で上に凸だと思うので、
もし、y'' = (1/3){a^(2/3)}{x^(-2/3)}{y^(-2/3)}だとすると、
x, yの任意の実数値に対して常にy'' ≧ 0となって、上に凸にはならないように思いますので、
アステロイドの2次導関数としては変だと思います。

y'' = (1/3){a^(2/3)}{x^(-4/3)}{y^(-1/3)}なら、y > 0でy'' > 0で下に凸、
y < 0でy'' < 0で上に凸となりますね。

# 私が考え違い、計算間違いをしていたらごめんなさい。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45495 / inTopicNo.3)

　Re[2]: アステロイド

▲▼■

□投稿者/ sphere 一般人(3回)-(2013/08/18(Sun) 22:46:28)

なるほど。代入するわけですか…。

確かに計算をしなおしてみると、WIZさんの結果と合致しました。
数式の書き方も含めて、教えてくださってありがとうございました。
(2)もこれらを踏まえてもう一度考えて見ます。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

■45496 / inTopicNo.4)

　Re[3]: アステロイド

▲▼■

□投稿者/ sphere 一般人(4回)-(2013/08/18(Sun) 23:10:22)

無事解決しました。ありがとうございました。

引用返信/返信 [メール受信/OFF] 削除キー/

トピック内ページ移動 / << 0 >>

このトピックに書きこむ

過去ログには書き込み不可

- Child Tree -
Edit By 数学ナビゲーター