 | (1)
p|(a+b)・・・(A)
p|(a^2-ab+b^2)・・・(B)
(A)と(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2より、p|(a^2+2ab+b^2)・・・(C)
(B)(C)と(a^2+2ab+b^2)-(a^2-ab+b^2) = 3abより、p|(3ab)・・・(D)
(D)とp ≠ 3より、p|(ab)・・・(E)
(2)
g = gcd(a+b,a^2-ab+b^2)とおきます。(gcd(x, y)はxとy最大公約数を表すものとします。)
(1)より、ある素数または単数pが、p|gならば、p|(3ab)です。
p|3の場合、p = 1またはp = 3となります。
p|(ab)の場合、
p > 1かつp|aと仮定すると、p|(a+b)よりp|bとなって、gcd(a, b) ≧ p > 1となって矛盾しますので、p = 1です。
p > 1かつp|bと仮定しても、同様に矛盾するので、やはりp = 1です。
以上から、必要条件としてp|gならば、p = 1またはp = 3となります。
p = 1が十分条件も満たすことは容易に確認できると思いますので、p = 3の場合の十分条件が満たされることを説明します。
gcd(a, b) = 1より、aもbも3では割り切れません。
# もしa ≡ 0 (mod 3)とすると、p|(a+b)より、b ≡ 0 (mod 3)となり、gcd(a, b) ≧ 3となり矛盾。
aとbに区別はないので、a ≡ 1, b ≡ 2 (mod 3)としても一般性を失いません。
すると、a+b ≡ 1+2 ≡ 0, a^2-ab+b^2 ≡ 1^2-1*2+2^2 ≡ 0 (mod 3)より、3|gとなることが可能です。
p = 3はp|3より3の因数ですので、3^2でgが割り切れることはありません。
以上から必要十分条件として、g = 1またはg = 3となります。
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