数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは? / Page: 0]

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■45411 / inTopicNo.1)

　n番目の有理数を求める公式とは?

□投稿者/ Dom 一般人(1回)-(2013/07/06(Sat) 11:00:53)

有理数全体の集合が可算である事を知る為に,n番目の有理数を求める公式を探しています(自分でもトライしてみたのですが,
1,1/2,[2/2],1/3,2/3,[3/3],1/4,[2/4],3/4,[4/4],….
約分できる分数をカウントしないようにするのはどうすればいいのか分りません。

どなたか
n番目の有理数を求める公式が載ってるサイトをご存知でしたらお教え下さい。

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■45417 / inTopicNo.2)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ WIZ 付き人(52回)-(2013/07/07(Sun) 08:06:22)

ご質問の答えではないですが、自分でもトライされているという部分にコメントします。
> 1,1/2,[2/2],1/3,2/3,[3/3],1/4,[2/4],3/4,[4/4],….
上記だと、区間(0,1]に含まれる有理数のみを並べているように見えます。
なので、有理数全体ならば別の並べ方を考える必要があると思います。

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■45424 / inTopicNo.3)

　Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ Dom 一般人(2回)-(2013/07/08(Mon) 06:32:44)

そうでした。

1,2,1/2,3,3/2,4,4/3,[4/2],5,5/4,5/3,5/2,6,6/5,[6/4],[6/3],[6/2],7,…
でしたね。

でもこれから一体どうすれば,,くじけそうです。

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■45426 / inTopicNo.4)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ WIZ 付き人(55回)-(2013/07/08(Mon) 13:11:43)

> 1,2,1/2,3,3/2,4,4/3,[4/2],5,5/4,5/3,5/2,6,6/5,[6/4],[6/3],[6/2],7,…
正の有理数全体を並べようとしているとしても、これも違うと思いますよ。
分子を1ずつ増やしながら、分母を1から分子-1まで増やしているようですが、この規則だと1/3や1/4は出てきませんよね?
やはり「有理数 - Wikipedia」のホームページに載っているような順序にする必要があるように思います。

分子・分母が互いに素なもののみカウントしたいのなら、オイラーのφ関数（オイラーのトーシェント関数)
というものを調べたら参考になるかもしれません。
もっとも簡単にn番目の有理数を求める公式が見つかるとは思いませんが・・・。

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■45427 / inTopicNo.5)

　Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ Dom 一般人(3回)-(2013/07/08(Mon) 23:17:16)

ご情報有難うございます。とても参考になっております。

> もっとも簡単にn番目の有理数を求める公式が見つかるとは思いませんが・・・。

え゛っ!? そうなんですか!????
ではもしかしたら,有理数は可算じゃないかもしれないんですね!?

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■45429 / inTopicNo.6)

　Re[3]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ らすかる付き人(82回)-(2013/07/08(Mon) 23:28:08)

たとえn番目の有理数を求める公式が見つからなくても、
有理数は可算個です。
可算個だからといって公式が作れるとは限りません。

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■45430 / inTopicNo.7)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ WIZ 付き人(56回)-(2013/07/09(Tue) 11:29:00)

有理数は可算です。実は有理数を真部分集合として含むもっと大きい(?)無限集合で可算であるものも存在します。
有理数とは整数と整数の比で表せる実数ですが、これは言い方を変えれば整数係数の1次方程式の解となる数ということです。
そこで2次以上の代数方程式(整数係数で、係数の最大公約数が1で、整式として既約とか幾つかの条件が付きますが)
の解となる数も含めた代数的数というのを考えると、これも可算無限であることが知られています。

おそらく、スレ主さんは実数全体が可算無限より真に大きい濃度を持つ無限集合であることもご存じだと思います。
整数係数の代数方程式の解になり得ない数を超越数と言います。
(円周率πや自然対数の底eは超越数であることが知られています。)

√2や√(1+√(2+√3))は代数的数ですが、実は整数から四則演算とべき根をとる演算を有限回実行することでは
表現できない代数的数も存在します。(5次以上の代数方程式には代数的な一般解法が存在しないことが知られています。)
しかし、代数的数は高々可算なので、実数が非可算であるのは超越数がすごく多い(?)からなんですね。
つまり、実数なんてその殆どが超越数ってことですね。

・・・なんだか、スレの趣旨からずれてしまったけど、色々調べてn番目の有理数を表す式とか、
有理数を与えるとそれが何番目か分かるアルゴリズムが見つかると良いですね。

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■45431 / inTopicNo.8)

　Re[3]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ ・ｽ・ｽ・ｽ・ｽ一般人(1回)-(2013/07/10(Wed) 00:37:50)

Domさんの気持ちはわかります。

私も高校の時、数学の先生に
「素数の数列って考えられるんですか？」
と聞いたことがありました。これは
n番目の素数p(n)を表す簡単な式（例えばnの多項式）がない
ことを聞きかじったからです。もちろん、この事実は正しいですが、
素数全体を並べて小さい順に番号を振る、
ということは問題ないわけです。そういう意味で素数の数列を考えることは問題ありません。
だから聞かれた先生も大分戸惑っていて「n番目の素数が簡単に表せるか？という意味ですか」と聞き返してこられました。そういわれても自分では「そういう意味ではない気がする」と思ったのですが、今にして思うと、同じ意味だったな、とわかります。

＃哲学的な問題としてn番目の数が具体的に何かよくわからないものを
＃考えてもいいのか、という感覚だったのかも知れません。

それと同じで、ここに述べた方法で、確実にすべての正の有理数はならべることができます。
確かに、この並べ方でn番目がどんな数になるか、は、容易にはわからないですが、
具体的にnが与えられれば、無限の時間と根性があれば必ずn番目の有理数は何かわかる、という意味でちゃんと並べることができたといっていいのです。

今はしっくりこないかもしれませんが、こういった議論に慣れてくると当たり前と思うようになる時がきます。

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■45432 / inTopicNo.9)

　Re[4]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ Dom 一般人(4回)-(2013/07/10(Wed) 04:55:23)

2013/07/10(Wed) 05:31:19 編集(投稿者)

大変有難うございます。なるほど納得です。

> 具体的にnが与えられれば、無限の時間と根性があれば必ずn番目
> の有理数は何かわかる、という意味でちゃんと並べることが
> できたといっていいのです。

そうですね。これなら可算だと分りますね。
可算集合を証明するには具体的に全単射の存在を言う必要性は有り,
図に書いて,既約分数だけ残していって,
0,1,-1,1/2,-1/2,2/3,-2/3,1/3,-1/3,3/4,-3/4,[2/4],[-2/4],1/4,-1/4,…
数えていけば,n番目の有理数は探せ得るのですね(そのようなプログラムを作る事も可能ですね)。

N→Qへの全単射fの存在を証明した人はいないのですね。
任意のnに対し,n番目のf(n)を表せないのですね(∵有理数は無限に存在する)。

逆に,任意に有理数p/qを与えた時,f^-1(p/q)を求める事は出来ないのですね(将来は出来るようになるかもしれませんが)。

因みに素数と同様にn番目の有理数を表す一般項も未だ発見されていないのですね。

解決済み!

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■45433 / inTopicNo.10)

　Re[5]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ らすかる付き人(83回)-(2013/07/10(Wed) 22:35:19)

「n番目の素数を表す式」は存在しますので、
それと同様の考え方で式を作れば
おそらく「n番目の有理数を表す式」も作れると思います。

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■45434 / inTopicNo.11)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ WIZ 付き人(57回)-(2013/07/11(Thu) 11:27:44)

解決済みのスレに発言するのは何ですが・・・。

>「n番目の素数を表す式」は存在しますので、

これは恐らく三角関数など超越的な演算を用いた計算方法だと思います。
つまり無限回の演算をして(?)、実数の極限として結果が求まる方法ですよね?

スレ主さんがはっきり意識しているかは分かりませんが、
「n番目の有理数を表す式」が多項式時間で計算できることから有理数が可算無限である事を理解したいように読み取れます。
なので、代数的な計算方法を探しているのだと想像します。

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■45435 / inTopicNo.12)

　Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ らすかる付き人(84回)-(2013/07/11(Thu) 12:08:49)

> >「n番目の素数を表す式」は存在しますので、
>
> これは恐らく三角関数など超越的な演算を用いた計算方法だと思います。
> つまり無限回の演算をして(?)、実数の極限として結果が求まる方法ですよね?

違います。
有限回の演算で求まる代数的な計算方法です。

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■45442 / inTopicNo.13)

　Re[6]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ Dom 一般人(5回)-(2013/07/16(Tue) 03:35:13)

> 「n番目の素数を表す式」は存在しますので、

えっ!? アルゴリズムではなく式自体が存在するのですかっ?
是非, その式を教えてください。m(_ _)m

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■45443 / inTopicNo.14)

　Re[7]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ らすかる付き人(85回)-(2013/07/16(Tue) 03:55:08)

n番目の素数 p[n] は
p[n]=1+Σ[m=1～2^n][[n/Σ[j=1～m][((j-1)!+1)/j]-[(j-1)!/j]]^(1/n)]
と表されます。
（ただしΣに続く[ ]以外の[ ]はガウス記号）

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■45444 / inTopicNo.15)

　Re[8]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ Dom 一般人(6回)-(2013/07/16(Tue) 09:24:04)

> p[n]=1+Σ[m=1～2^n][[n/Σ[j=1～m][((j-1)!+1)/j]-[(j-1)!/j]]^(1/n)]
> と表されます。

すっ凄すぎです。
どうやって見つけられたんですか?

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■45445 / inTopicNo.16)

　Re[9]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ らすかる付き人(86回)-(2013/07/16(Tue) 10:13:17)

かなり昔のことなので良く覚えていませんが、
多分自分で全く新規に考えたものではなく、
何か既存の式を応用して作っただけだと思います。
また、チェビシェフの定理とウィルソンの定理を知った上で
式の意味を理解すれば、全然凄くないことがわかると思います。

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■45447 / inTopicNo.17)

　Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ Dom 一般人(7回)-(2013/07/17(Wed) 01:47:34)

とても参考になってます。

> 有理数は可算です。実は有理数を真部分集合として含むもっと大きい(?)無限集合で可算であるものも存在します。

これはアレフ_0より大きい無限集合は非可算しか有り得ないのではないのですか(連続体仮説)?

> 有理数とは整数と整数の比で表せる実数ですが、
> これは言い方を変えれば整数係数の1次方程式の解となる数ということです。

なるほどです。

> そこで2次以上の代数方程式(整数係数で、係数の最大公約数が1で、
> 整式として既約とか幾つかの条件が付きますが)
> の解となる数も含めた代数的数というのを考えると、
> これも可算無限であることが知られています。

なるほど。

> おそらく、スレ主さんは実数全体が可算無限より真に大きい濃度を持つ
> 無限集合であることもご存じだと思います。

そうですね。

> 整数係数の代数方程式の解になり得ない数を超越数と言います。
> (円周率πや自然対数の底eは超越数であることが知られています。)

了解です。

> √2や√(1+√(2+√3))は代数的数ですが、実は整数から四則演算とべき根をと
> る演算を有限回実行することでは
> 表現できない代数的数も存在します。(5次以上の代数方程式には代数的な一
> 般解法が存在しないことが知られています。)

なるほど。5次以上の方程式は解の公式が存在しないことは聞いた事があります。
そのような5次以上の方程式は代数的数だがこれは整数から四則演算とべき根をと
る演算を有限回実行することでは表せないのですね。

> しかし、代数的数は高々可算なので、実数が非可算であるのは超越数がすごく
> 多い(?)からなんですね。
> つまり、実数なんてその殆どが超越数ってことですね。

実数の殆どが無理数だとは知ってましたが,更に無理数では代数的無理数は少ししかなく大部分は超越数なのですね。

> ・・・なんだか、スレの趣旨からずれてしまったけど、
> 色々調べてn番目の有理数を表す式とか、
> 有理数を与えるとそれが何番目か分かるアルゴリズムが見つかると良いですね。

そうですね。有難うございます。

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■45448 / inTopicNo.18)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ WIZ 付き人(60回)-(2013/07/17(Wed) 08:48:05)

>> 有理数は可算です。実は有理数を真部分集合として含むもっと大きい(?)無限集合で可算であるものも存在します。
> これはアレフ_0より大きい無限集合は非可算しか有り得ないのではないのですか(連続体仮説)?

無限集合の濃度の大小についての理解が不足しています。
上記の(誤った)論理ならば、可算無限である自然数全体を真部分集合として含む有理数全体は
非可算ということになってしまいますよ。

有限集合の場合、全体の要素の個数は、真部分集合の要素の個数より大きいと言えます。
逆に、この様な性質を持つ集合を有限集合と言ってもいいです。

無限集合の場合、要素の個数は数えられませんが、二つの集合間に写像を考えて全単射ができるのなら、
二つの集合間は同じ濃度と考えます。

スレ主さんは無限集合の基数をご存じの様なので、可算無限が最小の基数であることもご存じだと思います。
例えば、正の偶数全体は自然数全体の真部分集合ですが、
正の偶数全体が可算無限より小さい濃度を持つ無限集合という訳ではなく、
自然数nと正の偶数2nの間に全単射:n⇔2nを考える事ができますから、
自然数全体と正の偶数全体の濃度は等しく、正の偶数全体も可算無限となります。
このように、自身の真部分集合と全単射を持つという有限集合ではありえない性質を無限集合は持っています。
逆に、この様な性質を持つ集合を無限集合と言ってもいいです。

整数係数を持つ代数方程式全体が可算無限であり、代数方程式の異なる解は複素数の範囲でその次数以下
(代数学の基本定理)により、代数的数全体も可算無限であることが示せます。
興味があったら調べてみてください。

> なるほど。5次以上の方程式は解の公式が存在しないことは聞いた事があります。

代数的な一般解法(代数方程式の係数から有限回の四則演算とべき根を取る演算を実施して根を表現する方法)
が存在しないという意味で、楕円関数を用いた超越的な解法は知られています。

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■45449 / inTopicNo.19)

　Re[1]: n番目の有理数を求める公式とは?

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□投稿者/ WIZ 付き人(61回)-(2013/07/17(Wed) 10:39:37)

> らすかるさん
> 有限回の演算で求まる代数的な計算方法です。
> p[n]=1+Σ[m=1～2^n][[n/Σ[j=1～m][((j-1)!+1)/j]-[(j-1)!/j]]^(1/n)]

ガウスの記号は代数的な演算ではないと思いますが、どうでしょう?
有理数xに対して、y = [x]として、xに有限回の四則演算とべき根を取る演算を実行してyを求めることができますか?
もし可能なら、興味があるので方法(情報)を教えてください。

# 別スレ立てようかとも思いましたが、関連していると思うので同一スレに便乗します。
# 自然数から代数的なアルゴリズムで素数なり有理数への全単射を構築できるのかという意味で。

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■45450 / inTopicNo.20)

　Re[2]: n番目の有理数を求める公式とは?

▲　■

□投稿者/ らすかる付き人(87回)-(2013/07/17(Wed) 11:50:15)

「代数的な演算」は「有限回の四則演算とべき根を取る演算」という意味だったのですか。
それは存じませんでした。それでしたら式はわかりません。失礼しました。

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