 | 2013/07/05(Fri) 09:16:37 編集(投稿者)
<前提知識>
有理数の整数a, bの最大公約数をgとすると、ある整数x, yが存在してg = xa+ybと表せる。
またg = xa+ybと表せる整数gのうち、正の最小の値はa, bの最大公約数に一致する。
<背理法による証明>
nを自然数、a, bを整数として、(a, b) = 1かつ、(a^n, b^n) = d > 1と仮定すると、
ある整数u, vが存在してu*(a^n)+v*(b^n) = dとなる。
dはu*(a^n)+v*(b^n)と表せる正の最小の整数とする。
これは、n = 1ならば、u*(a^1)+v*(b^1) = d > 1より、(a, b) = d > 1となって背理法の仮定に矛盾する。
n > 1ならば、{u*(a^(n-1))}a+{v*(b^(n-1))}b = dより、やはり(a, b) = d > 1となって背理法の仮定に矛盾する。
以上から、(a, b) = 1ならは(a^n, b^n) = 1
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