数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[12]: 極限 / Page: 0]

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■45212 / inTopicNo.1)

　極限

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(12回)-(2013/05/31(Fri) 08:27:52)

$2$a$ を正の定数とするとき、
$2$ \lim_{x \to a}\Large{\frac{x^x - a^a}{x^a - a^x}}$
の求め方を教えて下さい。

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■45215 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 極限

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□投稿者/ 豆一般人(3回)-(2013/05/31(Fri) 15:56:10)

不定形なのでロピタルの定理が使える
分子の微分=x^x(1+logx)→a^a(1+loga)
分母の微分=ax^(a-1)-a^x・loga→a^a(1-loga)
よって、(1+loga)/(1-loga)

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■45217 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 極限

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□投稿者/ じぇじぇじぇ一般人(1回)-(2013/05/31(Fri) 20:20:47)

a=eのときは？

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■45218 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 極限

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□投稿者/ らすかる付き人(58回)-(2013/05/31(Fri) 21:52:24)

a=eのときは1-loga→0,1+loga→2なので発散しますね。

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■45219 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 極限

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(13回)-(2013/05/31(Fri) 23:09:28)

a=eのときもロピタルの定理が使えるのですか？

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■45221 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 極限

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□投稿者/ らすかる付き人(60回)-(2013/05/31(Fri) 23:20:36)

問題なく使えます。

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■45222 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 極限

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(14回)-(2013/06/01(Sat) 01:06:07)

すみません、私の読んでいる教科書だと、
$2$\lim_{x \to x_0} \large{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$
が存在するならば
$2$\lim_{x \to x_0} \large{\frac{f(x)}{g(x)}}$ も存在して
$2$\lim_{x \to x_0} \large{\frac{f(x)}{g(x)}}=\lim_{x \to x_0} \large{\frac{f'(x)}{g'(x)}}$
というようにロピタルの定理が書かれているのですが、
この場合、どうして使えるのでしょうか…？

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■45223 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 極限

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□投稿者/ らすかる付き人(61回)-(2013/06/01(Sat) 02:21:48)

あ、そうですね。うっかりしてました。

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■45227 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 極限

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(15回)-(2013/06/01(Sat) 11:31:57)

確認したいのですが、a=e のときは +∞ に発散、というのは正しいのでしょうか？

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■45229 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 極限

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□投稿者/ らすかる付き人(64回)-(2013/06/01(Sat) 12:29:13)

x→e+0のとき-∞に発散、
x→e-0のとき+∞に発散します。

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■45233 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 極限

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(18回)-(2013/06/01(Sat) 19:36:52)

そうなんですか…
それって簡単にわかることなのでしょうか？

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■45238 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 極限

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□投稿者/ らすかる付き人(66回)-(2013/06/02(Sun) 04:09:13)

lim[x→e](x^x-e^e)/(x^e-e^x)
=lim[h→0]((e+h)^(e+h)-e^e)/((e+h)^e-e^(e+h))
=lim[h→0]{((e+h)^(e+h)-e^e)/h}/{((e+h)^e-e^(e+h))/h}
と変形すれば
分子→2e^e
分母→0
となって発散することがわかりますね。

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■45240 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 極限

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□投稿者/ 黒ぬこ一般人(22回)-(2013/06/02(Sun) 11:33:51)

ありがとうございます。
色々教えていただき、助かりました。

解決済み!

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