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■45199 / inTopicNo.1)

　三角関数

□投稿者/ めじろ一般人(3回)-(2013/05/29(Wed) 07:10:04)

$2$ f\left( x \right) = x \cos \left( \frac{\pi}{x} \right)$
とおくと、
$2$ f\left( x +1 \right) - f\left( x \right) \ge 1 \;\;\;\; \left( x \ge 1 \right)$
が成り立つそうなのですが、どうやって示すのでしょうか…
平均値の定理だと思ったのですが、なかなか解けないです。

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■45200 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ ペンギン一般人(7回)-(2013/05/29(Wed) 18:29:10)

仰る通り、平均値の定理を使えば解くことができます。

STEP1

0≦x≦πでg(x) = cosx + xsinx - 1に対し、g(x)≧0が成り立つことを示します。

g'(x)=sinx≧0
g(0)=0なのでg(x)≧0 //

STEP2
x≧1でf'(x)≧1となることを示します。
f'(x)=cos(π/x)+π/x・sin(π/x)なので、X=π/xと置くと、
0<X≦πであり、f'(x)=cosX + XsinX = g(X) + 1
STEP1の結果より、g(X)≧0なので、f'(x)≧1 //

STEP3

平均値の定理より題意が成り立つことを示します。
平均値の定理より、
x<h<x+1 なるhに対し、f(x+1)-f(x)=f'(h)が成り立ちます。
1<hなので、STEP2の結果より、f(x+1)-f(x)≧1 //

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■45201 / inTopicNo.3)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ WIZ 一般人(37回)-(2013/05/29(Wed) 19:27:02)

> ペンギンさん
> 0≦x≦πでg(x) = cosx + xsinx - 1に対し、g(x)≧0が成り立つことを示します。
> g'(x)=sinx≧0

計算間違いをしています。g'(x) = x*cos(x)です。

x = 0で、g(0) = 0
0 < x < π/2で、g'(x) > 0なので、g(x)は増加。
x = π/2で、g'(x) = 0なので、g(x) = π/2-1 > 0は極大。
π/2 < x < πで、g'(x) < 0なので、g(x)は減少。
x = πで、g(x) = -2

上記から、π/2 < a < πとなる実数aが存在し、a < x < πならばg(x) < 0です。
よって、0 ≦ x ≦ πでg(x) ≧ 0は成立しません。

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■45203 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 三角関数

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□投稿者/ ペンギン一般人(8回)-(2013/05/29(Wed) 20:40:23)

2013/05/29(Wed) 20:41:09 編集(投稿者)

>WIZさん

いつも計算をチェックして下さり、ありがとうございます。
仰る通り、g'(x) = x*cos(x)ですね。

>めじろさん

x≦π/2でしかg'(x)≧0が成り立たないので、私の方法では
x≧2の場合でしかf(x+1)-f(x)≧1を示せていません。

ですので、私の回答は無視ししてください。

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■45204 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 三角関数

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□投稿者/ らすかる付き人(57回)-(2013/05/29(Wed) 22:57:55)

ちょっと雑ですが
g(x)=f(x)-(x-2)=xcos(π/x)-(x-2) とおくと
g(1)=g(2)=0
また
g''(x)=-π^2cos(π/x)/x^3
1≦x＜2 のとき g''(x)＞0 なので下に凸
x=2 のとき g''(x)=0
2＜x のとき g''(x)＜0 なので上に凸
そして lim[x→∞]g(x)=2
よって
1≦x＜2 のとき g(x)≦0, g(x+1)≧0 なので g(x+1)-g(x)≧0
x≧2 のとき g(x)は単調増加なので g(x+1)-g(x)≧0
よって f(x+1)-f(x)={g(x+1)+(x-1)}-{g(x)+(x-2)}=g(x+1)-g(x)+1≧1

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■45210 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 三角関数

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□投稿者/ めじろ一般人(4回)-(2013/05/31(Fri) 07:25:24)

ありがとうございました。
よくわかりました。

解決済み!

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