 | 2013/05/28(Tue) 19:33:06 編集(投稿者)
θ = π/2ならば、1/sin(θ)-1/θ = 1/1-2/πで、
0 < 1-2/3 < 1-2/π < 1-2/4 < 1ですので、題意は成立します。
以下0 < θ < π/2の場合を考察します。
# 高校数学でlim[θ→0]{sin(θ)/θ} = 1の説明で使われる以下の不等式の通り、
sin(θ)cos(θ) < θ < sin(θ)/cos(θ)
⇒ cos(θ)/sin(θ) < 1/θ < 1/{sin(θ)cos(θ)}
⇒ -1/{sin(θ)cos(θ)} < -1/θ < -cos(θ)/sin(θ)
⇒ {cos(θ)-1}/{sin(θ)cos(θ)} < 1/sin(θ)-1/θ < {1-cos(θ)}/sin(θ)
ここで、{1-cos(θ)}/sin(θ)の値を評価するために、f(θ) = sin(θ)-{1-cos(θ)}とおきます。
f(θ) = (√2)sin(θ+π/4)-1かつ、sin(θ+π/4) > 1/√2よりf(θ) > 0です。
よって、0 < {1-cos(θ)} < sin(θ)より、0 < {1-cos(θ)}/sin(θ) < 1です。
以上から0 < θ < π/2の場合も、1/sin(θ)-1/θ < 1です。
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