 | 反例は、例えば、次のように構成します。
まず、
Σ_[k=n,∞] 1/k =∞ (*)
はいいですね。
s[n]=Σ_[k=1,n] a[n] と書くことにし、a[n] を次のように定義します。
a[1]=1
n≧2 について、a[n]を次のように決めます。
a[n-1]>0 かつ s[n-1]+1/n＞1 なら、a[n]=1/n
a[n-1]>0 かつ s[n-1]+1/n≦1 なら a[n]=-1/n
a[n-1]<0 かつ s[n-1]-1/n≧0 なら a[n]=-1/n
a[n-1]<0 かつ s[n-1]-1/n＜0 なら a[n]=1/n
つまり、
1-(1/2+1/3)+(1/4+1/5+1/6+...)-(...)+(...)-(...)-...
というようにして、区切りごとの部分和が+の時までだとほぼ1,-の時に、ほぼ0 となるようにします。
(*)より、s[n] は1と0の間を無限に往復します（振動＝収束しない）が、s[n]は有界ですし、a[n]→0 でもあります。
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