 | 2013/05/25(Sat) 23:08:24 編集(投稿者)
問題の条件式を(A)とします。
△ABC,△CDAにおいてACに注目した余弦定理により
AC^2=AB^2+BC^2-2↑AB・↑BC=CD^2+DA^2-2↑CD・↑DA
これと(A)により
AB^2+BC^2=CD^2+DA^2 (B)
同様に△BCD,△DABにおいてBDに注目した余弦定理と(A)により
DA^2+AB^2=BC^2+CD^2 (C)
(B)+(C)を整理して
AB=CD (D)
(B)-(C)を整理して
BC=DA (E)
(D)(E)より四角形ABCDは少なくとも平行四辺形 (F)
さて(D)(E)を(A)に用いて整理すると
cos∠A=cos∠B=cos∠C=cos∠D (A)'
ですが(A)'の符号に注目すると、(F)により
cos∠A=cos∠B=cos∠C=cos∠D=0
の場合以外ありえませんので
∠A=∠B=∠C=∠D=π/2
∴命題は成立します。
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