数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[3]: 2^a+b^2 / Page: 0]

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■45158 / inTopicNo.1)

　2^a+b^2

□投稿者/ ペネロープ・ガルシア一般人(6回)-(2013/05/25(Sat) 12:17:23)

この問題をお願いします。
一見してして簡単だと思ったのですが、考えてみるとどうも上手くいきません。

Nを自然数の集合とします。
集合Sを次のように定めます。
S:={2^a+b^2|a∈N,b∈N}
このとき、
Σ[n∈S]1/n
が収束することを示して下さい。

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■45163 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 2^a+b^2

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□投稿者/ ペンギン一般人(1回)-(2013/05/25(Sat) 20:44:09)

まず、α>0のときΣ_{k=1～∞}1/(1+αk^2)が収束することを示します。

1/(1+αx^2)は単調減少関数なので、

Σ_{k=1～∞}1/(1+αk^2)<∫_{0～∞}1/(1+αx^2)dx

x=1/√αtanθと置換して、

Σ_{k=1～∞}1/(1+αk^2)<1/√α∫_{0～π/2}dθ=M/√α・・・①
(Mは定数です)

この結果を用いると、

Σ_{a=1～∞}Σ_{b=1～∞}1/(2^a+b^2)=
Σ_{a=1～∞}Σ_{b=1～∞}1/[2^a(1+b^2/2^a)]・・・②

ここで①の結果を用いると、

②<Σ_{a=1～∞}M/(2√2)^a
右辺は等比級数の和なので収束します。

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■45164 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 2^a+b^2

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□投稿者/ ペネロープ・ガルシア一般人(8回)-(2013/05/25(Sat) 21:49:53)

ありがとうございます。

②<Σ_{a=1～∞}M/(√2)^a　ですよね？

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■45166 / inTopicNo.4)

　Re[2]: 2^a+b^2

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□投稿者/ ペンギン一般人(2回)-(2013/05/25(Sat) 22:16:51)

> ②<Σ_{a=1～∞}M/(√2)^a　ですよね？

ご指摘の通りです。間違えました。