| ■45135 / inTopicNo.2) |
Re[1]: 素数の分布
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□投稿者/ WIZ 一般人(32回)-(2013/05/22(Wed) 19:29:12)
 | 問題文は合ってますか? 演習問題としてサクッと解けるような問題ではない気がしますが。
ベルトラン・チェビシェフの定理というのがあって、
「自然数n ≧ 2に対して、n < p < 2nを満たす素数pが存在する」
です。
あと定理の名前や証明された方の名前は忘れましたが、ベルトラン・チェビシェフの定理を発展させた
「任意の実数ε > 0に対して、自然数Mが存在し、自然数n ≧ Mならばn < p < (1+ε)nを満たす素数pが存在する」
というのもあります。
ベルトラン・チェビシェフの定理はε = 1ならばM = 2ということで、後者の定理に含まれます。
・・・なので、M ≦ n^2 < p < {(1+ε)^N}n^2 ≦ (n+1)^2となるようなnを見い出せるのなら
n^2 ≦ p ≦ (n+1)^2となる素数pがすくなくともN個存在するといえます。
(1+ε)^N ≦ (1+1/n)^2であれば良いのですが、nの増加に対して(1+1/n)^2は減少なので、
(1+1/n)^2の最大値は(1+1/√M)^2です。
つまり、Nに対して(1+ε)^N ≦ (1+1/√M)^2、即ちN ≦ 2log(1+1/√M)/log(1+ε)であれば良いのですが
Nを指定したときε(とM)が見い出せるのかは・・・分かりません。
ちなみに以下のホームページによれば、nの増加に伴い、n^2 < p < (n+1)^2となる素数pの個数は
増えていく傾向にあるらしいです。まあ、n = 100程度までの結果ですからもっと大きいnについての
振る舞いについては楽観視はできませんが。
http://homepage3.nifty.com/y_sugi/pr/pr33.htm
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