 | もし
lim[n→∞](A^cの要素でn以下の個数)/n ≠ 0
だとすると、あるα＞0に対して
(A^cの要素でn以下の個数)/n＞α
となるnが無限個存在します。
このようなnを、2n[k]＜n[k+1]となるように無限個選ぶと
A^cの要素でn[1]以下の個数＞αn[1]個なので
1/(A^cの要素でn[1]以下のもの) の合計は(1/n[1])αn[1]=α以上
A^cの要素でn[2]以下の個数＞αn[2]個なので
1/(A^cの要素でn[2]以下のもの) の合計は
(1/n[1])αn[1]+(1/n[2])(αn[2]-αn[1])=2α-α(n[1]/n[2])≧(3/2)α以上
A^cの要素でn[3]以下の個数＞αn[3]個なので
1/(A^cの要素でn[3]以下のもの) の合計は
(1/n[1])αn[1]+(1/n[2])(αn[2]-αn[1])+(1/n[3])(αn[3]-αn[2])
=3α-α(n[1]/n[2]+n[2]/n[3])≧2α以上
・・・
1/(A^cの要素でn[k]以下のもの) の合計は (k+1)α/2以上
となり、Σ[n∈A^c](1/n)が発散します。
従ってΣ[n∈A^c](1/n)が収束するならば
lim[n→∞](A^cの要素でn以下の個数)/n=0です。
# 途中、αn[x]は整数ではありませんので厳密な証明になっていませんが、
# 概念的には合っていると思いますので、適宜修正して下さい。
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