 | 2013/05/20(Mon) 09:28:37 編集(投稿者)
2013/05/20(Mon) 09:00:28 編集(投稿者)
(1)
p = a+b = a^2+b^2 = a^3+b^3とおきます。
p = a^2+b^2 = (a+b)^2-2abより、ab = (p^2-p)/2です。
よって、a, bは2次方程式x^2-px+(p^2-p)/2 = 0の2根です。
p = a^3+b^3 = p(p-ab) = p^2-p(p^2-p)/2 = (p^2-p^3)/2
⇒ p^3-p^2+2p = p(p-1)(p-2) = 0
⇒ p = 0またはp = 1またはp = 2
p = 0の場合、x^2 = 0より、(a, b) = (0, 0)
p = 1の場合、x^2-x = 0より、(a, b) = (0, 1)(1, 0)
p = 2の場合、x^2-2x+1 = 0より、(a, b) = (1, 1)
以上から(検算してみて)、(a, b) = (0, 0)(0, 1)(1, 0)(1, 1)
(2)
p = a+b+c = a^2+b^2+c^2 = a^3+b^3+c^3 = a^4+b^4+c^4とおきます。
p = a^2+b^2+c^2 = p^2-2(ab+bc+ca)より、ab+bc+ca = (p^2-p)/2です。
# 比較的良く知られた因数分解a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)を使います。
p = a^3+b^3+c^3 = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)+3abc = p{p-(p^2-p)/2}+3abcより、
abc = (1/3){p-p(3p-p^2)/2} = (2p-3p^2+p^3)/6です。
よって、a, b, c は3次方程式x^3-px^2+{(p^2-p)/2}x-(2p-3p^2+p^3)/6 = 0の3根です。
p = a^4+b^4+c^4 = (a^2+b^2+c^2)^2-2{(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2}
= p^2-2{(ab+bc+ca)^2-2(ab*bc+bc*ca+ca*ab)}
= p^2-2{((p^2-p)/2)^2-2abc(a+b+c)}
= p^2-2{(p^4-2p^3+p^2)/4-2{(2p-3p^2+p^3)/6}p}
= p^2-(p^4-2p^3+p^2)/2+2p(2p-p^2+p^3)/3
⇒ 6p = 6p^2-3(p^4-2p^3+p^2)+4(2p^2-3p^3+p^4)
⇒ p^4-6p^3+11p^2-6p = p(p-1)(p-2)(p-3) = 0
⇒ p = 0またはp = 1またはp = 2またはp = 3
p = 0の場合、x^3 = 0より、(a, b, c) = (0, 0, 0)
p = 1の場合、x^3-x^2 = 0より、(a, b, c) = (0, 0, 1)(0, 1, 0)(1, 0, 0)
p = 2の場合、x^2-2x^2+x = 0より、(a, b, c) = (0, 1, 1)(1, 0, 1)(1, 1, 0)
p = 3の場合、x^3-3x^2+3x-1 = 0より、(a, b, c) = (1, 1, 1)
以上から(検算してみて)、
(a, b, c) = (0, 0, 0)(0, 0, 1)(0, 1, 0)(0, 1, 1)(1, 0, 0)(1, 0, 1)(1, 1, 0)(1, 1, 1)
|