 | 例えば有理数を係数とする1変数の2次式で例をあげます。
x^2-1は(x-1)(x+1)と係数が有理数の範囲で1次式の積に因数分解できます。
でもx^2-2は係数が有理数の範囲では1次式の積に因数分解できませんが、(x-√2)(x+√2)と係数に無理数を使用しても良いなら因数分解できます。
高校数学の範囲でよく見かける因数分解としては、
a^4+(a^2)(b^2)+ab^4 = (a^2+ab+b^2)(a^2-ab+b^2)は係数が有理数の範囲で、4次式が2次式の積に因数分解可能。
a^4+ab^4 = (a^2+(√2)ab+b^2)(a^2-(√2)ab+b^2)は係数に無理数の範囲で、4次式が2次式の積に因数分解可能。係数が有理数の範囲では既約(因数分解不能)です。
# 上記の2例の4次式は係数に複素数を用いても良いのなら、1次式の積に因数分解可能です。
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