 | 図は簡単に作れないので勘弁して下さい。
ダメな例は、次のように描いてみて下さい。
(1) １辺が1の正三角形を描いて下さい。
(2) その正三角形の3辺それぞれの外側に、
「底辺が1で高さが0.1の二等辺三角形」をくっつけて下さい。
こうすると正三角形の各辺の中央が微妙に膨らんでいるような六角形が
出来ると思いますが、この六角形が反例となっています。
立方体の切断面がある場合に「6辺の長さが等しい」だけで十分なことは
一応証明できましたが、長いので概要だけ書きます。
立方体の頂点を(0,0,0)(0,0,1)(0,1,0)(0,1,1)(1,0,0)(1,0,1)(1,1,0)(1,1,1)
としてこの立方体を平面ax+by+cz=1（0＜a,b,c＜1）で切断します。
各辺と平面の交点を求め、断面となる六角形の辺の長さをa,b,cで表すと、
「6辺の長さが等しい」という式は（少し変形して）
(1-c)^2((bc)^2+(ac)^2)
=(1-b)^2((bc)^2+(ab)^2)
=(1-a)^2((ac)^2+(ab)^2)
=(1-b-c)^2((ac)^2+(ab)^2)
=(1-a-b)^2((bc)^2+(ac)^2)
=(1-c-a)^2((bc)^2+(ab)^2)
と表されます。この式をこまごまと処理していくと、
この等式が成り立つのはa=b=c=2/3のときだけであることがわかり、
その時の断面は正六角形となります。
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