数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 四面体に内接する球 / Page: 0]

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■44931 / inTopicNo.1)

　四面体に内接する球

▼■

□投稿者/ waka 一般人(12回)-(2013/03/02(Sat) 13:55:06)

AB=√3,AC=AD=BC=BD=CD=2である四面体ABCDがある。このとき,四面体ABCDに内接する球の半径Rを求めよ。これをお願いします。

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■44932 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 四面体に内接する球

▲▼■

□投稿者/ らすかる一般人(30回)-(2013/03/02(Sat) 15:37:10)

ABの中点をP、CDの中点をQとすると
AP=AB/2=√3/2
CP=√(AC^2-AP^2)=√{2^2-(√3/2)^2}=√13/2
CQ=1
PQ=√(CP^2-CQ^2)=√{(√13/2)^2-1^2}=3/2
△PCD=CD・PQ/2=2・(3/2)/2=3/2
四面体A-PCD=△PCD・AP/3=(3/2)・(√3/2)/3=√3/4
四面体ABCD=2(四面体A-PCD)=√3/2
△ABC=△ABD=AB・CP/2=√3・(√13/2)/2=√39/4
△ACD=△BCD=CD・AQ/2=2・√3/2=√3
(四面体ABCDの表面積)=△ABC+△ABD+△ACD+△BCD=√39/2+2√3=√3(4+√13)/2
(四面体ABCDの内接球の半径)=(四面体ABCDの体積)×3÷(四面体ABCDの表面積)
=(√3/2)×3÷{√3(√13+4)/2}
=3/(4+√13)
=4-√13

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