数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[5]: ∫(secx)^nの漸化式 / Page: 0]

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■44856 / inTopicNo.1)

　∫(secx)^nの漸化式

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□投稿者/ モモのサイダー一般人(1回)-(2013/01/13(Sun) 16:39:12)

In=∫(secx)^ndxの漸化式を求めよ。

I1,I2,I3を求めてから求めています。

In=∫(secx)^n-2dx+=∫(tanx)^2(secx)^n-2dx
からよくわかりません。教えてください。

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■44857 / inTopicNo.2)

　Re[1]: ∫(secx)^nの漸化式

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□投稿者/ らすかる一般人(4回)-(2013/01/13(Sun) 17:47:35)

(secx)^n-2 と書くと {(secx)^n}-2 と解釈されます。
もしn-2乗ならば (secx)^(n-2) と書いて下さい。

「+=」はどういう意味ですか？

「…からよくわかりません。」と書かれても
どのように求めているのかわかりません。
式が書かれているのであれば、それを書いて
具体的に何をどう変形したところがわからないのかを書いて下さい。

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■44858 / inTopicNo.3)

　Re[2]: ∫(secx)^nの漸化式

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□投稿者/ モモのサイダー一般人(3回)-(2013/01/13(Sun) 18:54:59)

すみません記述の仕方が悪かったです。
∫(secx)^ndxの(secx)^nを(secx)^2と(secx)^(n-2)に分けて考えることはわかったのですが、その後の展開がわからなくなってしまって、質問しました。

+=はタイプミスです。

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■44859 / inTopicNo.4)

　Re[3]: ∫(secx)^nの漸化式

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□投稿者/ モモのサイダー一般人(4回)-(2013/01/13(Sun) 19:12:25)

In=∫(secx)^ndxの漸化式を求めよ。

I1,I2,I3を求めてから求めています。

I1=log|secx+tanx|+C

I2=tanx+C

I3=1/4(1/(1-sinx)+1/(1+sinx))+Cとなりました。

ちなみに画像のような漸化式になるようです。

480×121 => 250×63

1358071945.jpg/17KB

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■44860 / inTopicNo.5)

　Re[4]: ∫(secx)^nの漸化式

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□投稿者/ らすかる一般人(5回)-(2013/01/13(Sun) 23:04:36)

2013/01/13(Sun) 23:19:00 編集(投稿者)

I[n]=∫(secx)^ndx
=∫(secx)^2・(secx)^(n-2)dx
=∫{(tanx)^2+1}・(secx)^(n-2)dx
=∫(tanx)^2・(secx)^(n-2)dx+I[n-2]

∫(tanx)^2・(secx)^(n-2)dx
=∫sinx/(cosx)^2・(sinx)(secx)^(n-2)dx
=∫(secx)'・(sinx)(secx)^(n-2)dx
=(secx)(sinx)(secx)^(n-2)
　-∫(secx){(cosx)(secx)^(n-2)+(n-2)(sinx)(secx)^(n-3){sinx/(cosx)^2}}dx
=(tanx)(secx)^(n-2)-I[n-2]-(n-2)∫(tanx)^2(secx)^(n-2)dx

{1+(n-2)}∫(tanx)^2・(secx)^(n-2)dx=(tanx)(secx)^(n-2)-I[n-2]
∫(tanx)^2・(secx)^(n-2)dx={1/(n-1)}{(tanx)(secx)^(n-2)-I[n-2]}

∴I[n]={1/(n-1)}{(tanx)(secx)^(n-2)-I[n-2]}+I[n-2]
　　　=1/(n-1)・(tanx)(secx)^(n-2)+(n-2)/(n-1)・I[n-2]

それから
> I3=1/4(1/(1-sinx)+1/(1+sinx))+Cとなりました。
これは正しくありません。

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■44861 / inTopicNo.6)

　Re[5]: ∫(secx)^nの漸化式

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□投稿者/ モモのサイダー一般人(5回)-(2013/01/14(Mon) 00:33:41)

ありがとうございます！助かります！
I3は間違っていたのですね。もう一度考えてみます。

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