 | (1)
t=sinθ+cosθ=(√2)sin(θ+π/4)
0≦θ≦π のとき
π/4≦θ+π/4≦(5/4)π
-1/√2≦sin(θ+π/4)≦1
-1≦(√2)sin(θ+π/4)≦√2
∴-1≦t≦√2
(2)
t^2=(sinθ)^2+(cosθ)^2+2sinθcosθ=1+2sinθcosθ
∴sinθcosθ=(t^2-1)/2
y=(sinθ)^3+(cosθ)^3
=(sinθ+cosθ){(sinθ+cosθ)^2-3sinθcosθ}
=t{t^2-3(t^2-1)/2}
=-t(t^2-3)/2
(3)
三次関数 y=-t(t^2-3)/2 は三次の係数が負で
微分すると y'=-(3/2)(t-1)(t+1) となるので、
t=-1で極小値、t=1で極大値をとる。
-1≦t≦√2 なので、最大値はt=1のとき、
最小値はt=-1のときとt=√2のときの小さい方
t=-1 のとき y=-1
t=1 のとき y=1
t=√2 のとき y=1/√2
よって最小値はt=-1のとき
t=(√2)sin(θ+π/4) から
t=-1 となるθは θ=π
t=1 となるθは θ=0,π/2
よってyは
θ=0,π/2のとき最大値1をとり、
θ=πのとき最小値-1をとる。
|