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■44816 / inTopicNo.1) 　やっぱり分からなくなって
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□投稿者/ a 一般人(9回)-(2012/10/11(Thu) 10:06:41)
    どもこんにちは。

    やっぱり分からなくなってしまいました。

    0<a<1,r<0の時
    ∫_a^1 t^r exp(-t)dtが収束する事を示すにはどうすれば宜しいのでしょうか?
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■44817 / inTopicNo.2) 　Re[1]: やっぱり分からなくなって
□投稿者/ らすかる 一般人(8回)-(2012/10/11(Thu) 12:59:12)
    f(t)=t^r*exp(-t) とすると
    f'(t)=r*t^(r-1)*exp(-t)-t^r*exp(-t)
    f''(t)=r(r-1)*t^(r-2)*exp(-t)-r*t^(r-1)*exp(-t)-r*t^(r-1)*exp(-t)+t^r*exp(-t)
    ={(t-r)^2-r}*t^(r-2)*exp(-t)
    ＞0
    0＜t＜1でf(t)＞0かつf(t)は下に凸だから
    0＜∫[a〜1]t^r*exp(-t)dt＜{f(a)+f(1)}(1-a)/2
    （(a,0)(1,0)(1,f(1))(a,f(a))を頂点とする台形の内部に収まるという意味）
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■44818 / inTopicNo.3) 　Re[2]: やっぱり分からなくなって
□投稿者/ a 一般人(10回)-(2012/10/12(Fri) 07:45:35)
    うぉー。ナイスです。

    あと一つどうしても分からないのですが
    ∫_0^∞t^r exp(-t) dt が収束 ⇔ r>-1
    なのです。

    前ご回答に倣って,台形とか図を描いてみたりしたのですが結局,挫折してしまいました。
    どうかお助けをm(_ _)m
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■44819 / inTopicNo.4) 　Re[3]: やっぱり分からなくなって
□投稿者/ らすかる 一般人(9回)-(2012/10/12(Fri) 21:27:17)
    r≦-1 のとき
    ∫[0〜∞]t^r*exp(-t)dt
    　＞∫[0〜1]t^r*exp(-t)dt
    　≧∫[0〜1]t^(-1)*exp(-1)dt
    　＝exp(-1)∫[0〜1]t^(-1)dt
    　＝∞

    -1＜r＜0 のとき
    ∫[0〜∞]t^r*exp(-t)dt
    　＝∫[0〜1]t^r*exp(-t)dt＋∫[1〜∞]t^r*exp(-t)dt
    　＜∫[0〜1]t^rdt＋∫[1〜∞]t^r*t^(-1)dt
    　＝1/(r+1)-1/r

    0≦r≦e/2 のとき
    ∫[0〜∞]t^r*exp(-t)dt
    　＜∫[0〜∞]exp(t/2)*exp(-t)dt
    　＝2

    e/2＜r のとき
    exp(t/2)=t^rの解のうち大きい方をαとすると
    ∫[0〜∞]t^r*exp(-t)dt
    　＝∫[0〜α]t^r*exp(-t)dt＋∫[α〜∞]t^r*exp(-t)dt
    　＜∫[0〜α]t^r*exp(-t)dt＋∫[α〜∞]exp(t/2)*exp(-t)dt
    　＝(有限値)

    # r≧0の場合はもう少しうまい方法がある気がします。
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