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■44760 / inTopicNo.1)

　三角関数の値

□投稿者/ 掛け流し一般人(1回)-(2012/08/12(Sun) 01:45:15)

次の問題の解法をご教授下さい。
「実数x､yが Sinx+Siny=1 を満たしながら変化するとき、Cosx+Cosy の取りうる値の範囲を求めよ。」
　私自身の解法は、与式を Cosx+Cosy=k とおき、2点P(Cosx,Sinx),Q(Cosy,Siny)
を考えると、2点P,Qは原点O(o,o)中心の単位円上にあり、しかもその中点Mは、
M(k/2,1/2)であることから、点Mの存在範囲を考えて、-sqr(3)/2≦k/2≦sqr(3)/2
より、-sqr(3)≦k≦sqr(3) (答)
とやりましたが、他に、三角関数の合成や和積公式等を利用しての解法が無いものかと試行錯誤したのですがうまくいきませんでした。
是非他にありましたらお願い致します。

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■44761 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 三角関数の値

▲▼■

□投稿者/ DCO 一般人(1回)-(2012/08/13(Mon) 11:29:24)

2012/08/13(Mon) 11:34:41 編集(投稿者)

$2$\sin x+ \sin y =1$ 、 $2$\cos x+ \cos y =k$ とおくと
$2$ \sin ^2 x +2\sin x\sin y +2\sin ^2 y =1$
$2$ \cos ^2 x +2\cos x\cos y +2\cos ^2 y =k^2$
両辺足して加法定理を用いると $2$2+2\cos (x-y) =1+k^2$
よって $2$0 \leq 1+k^2 \leq 4$
つまり $2$-\sqrt{3} \leq k \leq \sqrt{3}$ が必要。

これだと、十分性を示すのに少し手間がかかるかもしれません。

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■44762 / inTopicNo.3)

　DCO様　ありがとうございます。

▲▼■

□投稿者/ 掛け流し一般人(2回)-(2012/08/14(Tue) 14:31:48)

DCO様、早速のご教授ありがとうございます。
この後、十分性をも示してみたいと考えております。
私も、２式からSiny,Cosyをxとｋで表したものをSin^2(y)+Cos^(y)=1 へ代入し、
その後、合成し２sqr(1+k^2)Sin(x+α)=1+k^2 を得、必要条件として
　　-sqr(3)≦k≦sqr(3)
を得たのですが、十分性をうまく示せませんでした。

今後ともよろしくお願いします。

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