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■44745 / inTopicNo.1)

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□投稿者/ Cruella de Vil 一般人(15回)-(2012/07/24(Tue) 20:10:02)

位相空間 $2$S$ の, $2$2$ つのコンパクトな部分集合 $2$A$ と $2$B$ があります.
このとき, $2$A \cap B$ はコンパクトといえるでしょうか ?
　　　　
$2$S$ が $2$Hausdorff$ であればいえるのですが, 一般にどうなのかよくわかりません.
教えて下さい. お願いします. 　

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■44748 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 　* コンパクト *　

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□投稿者/ のぼりん一般人(4回)-(2012/07/25(Wed) 21:47:02)

2012/07/25(Wed) 22:15:47 編集(投稿者)

こんばんは。
　　　Ｘ＝〔－１，１〕×｛０，１｝
とおき、ユークリッド位相の積位相を考えます。
　　　（ｘ，ｙ）～（ｘ，ｙ’）　、　ｘ≠０
　　　（０，ｙ）～（０，ｙ）
により、同値関係～を定義し、Ｓ＝Ｘ/～とし、商位相を考えます。これは、イメージ的には、閉区間〔－１，１〕において、異なる０が二つある空間です。便宜上、（ｘ，ｙ）（ｘ≠０）の同値類をｘと、｛０｝×｛０｝の同値類を０と、｛０｝×｛１｝の同値類を０’ と記せば、Ｓを〔－１，１〕∪｛０’｝とみなせます。以下、この記法によります。

さて、
　　　Ａ＝〔－１，１〕、　Ｂ＝〔－１，０’〕∪（０’，１〕
とします。Ａ、Ｂとも閉区間だからコンパクトです。しかし、
　　　Ａ∩Ｂ＝〔－１，０）∪（０，１〕
はコンパクトでありません。

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■44752 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 　* コンパクト *　

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□投稿者/ Cruella de Vil 一般人(16回)-(2012/07/29(Sun) 12:05:17)

商空間や商ベクトル空間や群を正規部分群で割ったり環をイデアルで割ったり…同値関係で割るのは苦手なのですが, ゆっくり考えましたら, よくわかりました.
ありがとうございました.

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