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■44623 / inTopicNo.1)

　解き方がわかりません

□投稿者/ 眞一般人(1回)-(2012/05/11(Fri) 09:38:25)

（１）
a>=0,b>=0,c>=0のとき、

a+b+c/3>=√[3]abc

が成り立つことを示せ
また、1/2(x+y+z)｛(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}=x^3+y^3+z^3-3xyzは成り立つものとする

（２）
座標平面において、円x^2+y^2=1上の点P(a,b)(0<b<1)における接線をLとし、Lとx軸の交点をQとする。点R(4，0)とLの距離が2であるとき、点Pの座標（a,b)を求めよ

それぞれ全く種類の違う問題ですが
どちらも解き方がわかりません
詳しく教えてください
よろしくお願いしますm(_ _)m

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■44624 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 解き方がわかりません

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□投稿者/ らぁ一般人(3回)-(2012/05/11(Fri) 12:04:09)

（１）
$2$x\ge0$ 、 $2$y\ge0$ 、 $2$z\ge0$ なら、
$2$x+y+z\ge0$ で、 $2$(x-y)^2$ 、 $2$(y-z)^2$ 、 $2$(z-x)^2$ のいずれも負ではないので、
$2$\frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}\ge0$ 、
したがって、 $2$x^3+y^3+z^3-3xyz\ge0$
$2$\frac{x^3+y^3+z^3}{3}\ge xyz$
等号成立は、 $2$(x+y+z)\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\}=0$ 、つまり、 $2$x=y=z$ のとき

いま、 $2$x=\sqrt[3]{a}\ge0$ 、 $2$y=\sqrt[3]{b}\ge0$ 、
$2$z=\sqrt[3]{c}\ge0$ とすると、

$2$\frac{a+b+c}{3}\ge\sqrt[3]{abc}$
等号成立は、 $2$\sqrt[3]{a}=\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{c}$ 、つまり、 $2$a=b=c$ のとき

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■44626 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 解き方がわかりません

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□投稿者/ 眞一般人(2回)-(2012/05/11(Fri) 18:59:22)

詳しい説明ありがとうございましたm（_　_）m

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■44627 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 解き方がわかりません

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□投稿者/ らぁ一般人(4回)-(2012/05/11(Fri) 19:43:47)

2012/05/12(Sat) 19:04:44 編集(投稿者)
2012/05/12(Sat) 19:02:51 編集(投稿者)

Xさんのご指摘により修正いたしました。
Xさん、ご指摘ありがとうございます。

（２）
> 座標平面において、円x^2+y^2=1上の点P(a,b)(0<b<1)における接線をLとし、Lとx軸の交点をQとする。点R(4，0)とLの距離が2であるとき、点Pの座標（a,b)を求めよ

点 $2$(0,\,0)$ を $2$O$ 、 $2$R$ から $2$l$ へ下ろした垂線の足を $2$H$ 、また、 $2$P$ から $2$x$ 軸へ下ろした垂線の足を $2$S$ とする。

$2$Q$ が線分 $2$OR$ 上にある場合、
$2$OP\perp l$ 、 $2$RH\perp l$ より、角 $2$OPQ$ =角 $2$RHQ$ 。
また、角 $2$OQP$ =角 $2$RQH$ (∵対頂角)。
よって、 $2$\Delta OPQ$ ∽ $2$\Delta RHQ$ 。 $2$OP=1$ 、 $2$RH=2$ より $2$OQ:QH=1:2$ より、 $2$OQ=\frac{4}{3}$ 、 $2$PQ=\frac{\sqrt{7}}{3}$ 。

と、 $2$\Delta OPQ$ ∽ $2$\Delta OSP$ 。
$2$OP:OQ=OS:OP$ より、 $2$b=\frac{3}{4}$ 、 $2$a=\frac{\sqrt{7}}{4}$

$2$Q$ が $2$O$ より左にある場合、
$2$OP\perp l$ 、 $2$RH\perp l$ より、角 $2$OPQ$ =角 $2$RHQ$ 。
また、角 $2$OQP$ =角 $2$RQH$ 。
よって、 $2$\Delta OPQ$ ∽ $2$\Delta RHQ$ 。 $2$OP=1$ 、 $2$RH=2$ より $2$OQ:QH=1:2$ 、 $2$QR=OQ+4$ より、 $2$OQ=4$ 。 $2$PQ=\sqrt{15}$

また、 $2$\Delta OPQ$ ∽ $2$\Delta OSP$ 。
$2$OP:OQ=OS:OP$ より、 $2$b=\frac{\sqrt{15}}{4}$ 、 $2$a=-\frac{1}{4}$

∴ $2$P(\frac{\sqrt{7}}{4},\,\frac{3}{4}),\,(-\frac{1}{4},\,\frac{\sqrt{15}}{4})$

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■44631 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 解き方がわかりません

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□投稿者/ X 一般人(8回)-(2012/05/12(Sat) 12:34:11)

2012/05/12(Sat) 17:57:08 編集(投稿者)

(2)の別解
条件からLの方程式は
ax+by=1 (A)
又、点P(a,b)は円x^2+y^2=1上の点ゆえ
a^2+b^2=1 (B)
(A)とR(4,0)との距離が2であるから、点と直線との距離の公式により
|4a-1|/√(a^2+b^2)=2 (C)
a,bが実数であり、かつ
0＜b＜1
であることに注意して、(B)(C)をa,bについての連立方程式と見て解きます。

こちらの計算では
(a,b)=(-1/4,(√15)/4),(3/4,(√7)/4)
となりました。

>>らあさんへ
条件の場合、Lは
x^2+y^2=1
(x-4)^2+y^2=2^2
の二つの円の共通接線になります。
さて、この二つの円は交点を持たず、互いに外側であることから、共通接線は４つ存在しますが
二つの円の中心は共にx軸上にあることと0＜bであることから、x軸に関する対称性により
Lは2本、つまり点Pの座標は2箇所取ることができます。

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■44633 / inTopicNo.6)

　Re[2]: 解き方がわかりません

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□投稿者/ 眞一般人(3回)-(2012/05/14(Mon) 10:26:02)

らぁさん、xさん
詳しい説明誠にありがとうございますm(_ _)m

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