 | こんにちは。
Σ_{n=0}^∞ (-1)^n B_n(x)u^n/(n!(s+n-1)) (但し,B_n(x)はn次のベルヌーイ多項式)がsについてC＼{1,0,-1,-2,…}で正則になる事を示しておりまして,
Σ_{n=0}^∞ (-1)^n B_n(x)u^n/(n!(s+n-1))
=∫_0^1 Σ_{n=0}^∞ (-1)^n B_n(x)u^{n+s^2}/n! du
=∫_0^1 Σ_{n=0}^∞ (-u)^n B_n(x)u^{s^2}/n! du
=∫_0^1 -u exp(-ux)u^{s-2}/(exp(-u)-1) du (∵B_n(x)の定義)
=∫_0^1 u^{s-1} exp(-ux)/(1-exp(-u)) du
と変形でき,これがC＼{1,0,-1,-2,…}で正則となる事を示せば終わりなのです。
それで
∫_0^1 u^{s-1} exp(-ux)/(1-exp(-u)) du
=∫_0^1 Σ_{n=0}^∞ u^{s-1} (-ux)^n/n!/(1-exp(-u)) du
=Σ_{n=0}^∞x^n/n!∫_0^1 u^{s-1} (-u)^n/(1-exp(-u)) du
=Σ_{n=0}^∞(-x)^n/n!∫_0^1 u^{s-1} u^n/(1-exp(-u)) du
となり,
∫_0^1 u^{s-1}/(1-exp(-u)) duは収束するので(∵省略)
任意のnについても∫_0^1 u^{s-1} u^n/(1-exp(-u)) duは収束すると分かる
(∵積分範囲が0〜1なので0
従って,
Σ_{n=0}^∞(-x)^n/n!∫_0^1 u^{s-1} u^n/(1-exp(-u)) duがs∈C＼{1,0,-1,-2,…}に於いて一様収束する事が示せれば
WeierstrassのM-testより
Σ_{n=0}^∞(-x)^n/n!∫_0^1 u^{s-1} u^n/(1-exp(-u)) duがC＼{1,0,-1,-2,…}で正則,つまり
Σ_{n=0}^∞ (-1)^n B_n(x)u^n/(n!(s+n-1)) がC＼{1,0,-1,-2,…}で正則で晴れてめでたしめでたしなのですが
|(-x)^n/n!∫_0^1 u^{s-1} u^n/(1-exp(-u))|を抑えれる優級数がどうしても見つかりません。
一体何で抑えれますでしょうか?
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