数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 直線と楕円の接点 / Page: 0]

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■44577 / inTopicNo.1)

　直線と楕円の接点

□投稿者/ n 一般人(1回)-(2012/04/20(Fri) 18:58:26)

お世話になります。

直線　 $2$y=mx+3$ が、楕円　 $2$x^2+4y^2=4$ 　に接するとき、接点の座標を求めよ。
という問題なのですが、解き方が分からず困っています。
どなたか詳しく教えて頂けませんでしょうか。
よろしくお願い致します。

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■44578 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 直線と楕円の接点

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□投稿者/ n 一般人(2回)-(2012/04/20(Fri) 20:37:22)

ちなみに、 $2$m$ の値は、 $2$m=\pm\sqrt{2}$ です。

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■44579 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 直線と楕円の接点

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□投稿者/ らすかる一般人(2回)-(2012/04/21(Sat) 10:48:48)

y=mx+3とx^2+4y^2=4からyを消去して整理すると (4m^2+1)x^2+(24m)x+32=0
この方程式の解が一つであるためには D/4=(12m)^2-32(4m^2+1)=0
これを解いて m=±√2

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■44580 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 直線と楕円の接点

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□投稿者/ n 一般人(3回)-(2012/04/21(Sat) 12:25:04)

ご返信ありがとうございます。
私もそこまでは理解できるのですが、接点の座標の求め方がわかりません。
引き続き教えて頂けるとありがたいのですが・・・。

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■44581 / inTopicNo.5)

　Re[1]: 直線と楕円の接点

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□投稿者/ らぁ一般人(1回)-(2012/04/21(Sat) 14:41:35)

mの値がわかっているなら、直線の式と楕円の式を連立して共有点を求めるだけですね。

解決済み!

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■44582 / inTopicNo.6)

　Re[4]: 直線と楕円の接点

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□投稿者/ n 一般人(4回)-(2012/04/21(Sat) 14:59:02)

あれから計算してみたのですが以下で合っているでしょうか。

$2$(4m^2+1)x^2+24mx+32=0$ に $2$m=\pm\sqrt{2}$ を代入すると
$2$9x^2\pm24\sqrt{2}x+32=0$
ゆえに　 $2$x=\frac{\mp4\sqrt{2}}{3}$
このとき　 $2$y=mx+3=\pm\sqrt{2}\cdot \frac{\mp4\sqrt{2}}{3}+3=-\frac{8}{3}+3=\frac{1}{3}$
以上から接点の座標は $2$(\frac{\mp4\sqrt{2}}{3},\frac{1}{3})$

以上よろしくお願い致します。

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■44583 / inTopicNo.7)

　Re[5]: 直線と楕円の接点

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□投稿者/ らすかる一般人(3回)-(2012/04/21(Sat) 15:23:37)