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■44561 / inTopicNo.1)

　単位分数分解

□投稿者/ シャロン一般人(6回)-(2012/03/21(Wed) 06:42:56)

御知恵をお貸し下さい。

$2$\forall n\in\mathbb{N}\forall R\subset\mathbb{N}\exists q\in\mathbb{Q}[(0\lt q\lt1, n\ge1, |R|=n)$ ∧ $2$(\sum\limits_{r\in R}\frac{1}{r}\neq q)]$

#正整数nが与えられたとき、0＜q＜1なる有理数qで、n個の相異なる単位分数の和で表せないものが存在する。

を証明しようとしています。

各nについて集合
$2$X_n=\{0\lt x_n\lt1|x=\sum\limits_{r\in R}\frac{1}{r}, |R|=n\}$
を考え、有理数列 $2$\{b_n\}$ を漸化式
$2$b_1=2$ 、 $2$b_{n+1}=(\prod\limit_{k=1}^n b_n)+1$ (n≧2)
で定義し、
$2$\mathrm{max}X_n=\sum\limits_{i=1}^n \frac{1}{b_i}$ …★
と予想するのですが、★を証明できません。

お力添えをお願いいたします。

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