数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[4]: 球を円形に並べる方法 / Page: 0]

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■44538 / inTopicNo.1)

　球を円形に並べる方法

□投稿者/ army 一般人(3回)-(2012/03/12(Mon) 16:57:49)

白球3個、黒球3個、赤球2個を全て円形に並べる時、

(1)赤が隣り合う場合は何通りか（回転して同じになるものは同じとする）
(2)全ての並べ方は何通りか（回転して同じになるものは同じとする）
(3)(2)において数珠にする場合は何通りか

という問題です。このような円形並べ替え問題では「赤球1個」というような
条件の時は、それを固定して考えるという方法で解けると思うのですが、今回
のようにどれも2個以上用意されているような場合に上手い方法はありますでし
ょか。

(1)は赤球2個を1個と考えるだけで良いので、6C3で20通りとなると思います。
(2)から問題なのですが、私は赤球を
・互いに隣り合っている時
・1つ分隔てて隣り合うとき
・2つ分隔てて隣り合うとき
・3つ分隔てて隣り合うとき
の4つに場合分けしてそれぞれを数える方法で攻めました。
すると最初の3つの場合はそれぞれ(1)と同じ20通りで、最後の4つ目のときは
20÷2＝10通りだから、計70通りとなりました。
(3)「非対称のもの/2＋線対称のもの」という原則で考えているのですが、
今回は線対称のタイプが無いと思いましたので、単純に(2)の結果を2で割って
35通りとしました。

誤りがあればぜひ指摘して頂きたいのと、もし問題が「全ての色の球がそれぞ
れ3個」というようになっていたらどのように攻めればよいのかを教えて頂き
たいのが希望です。場合分けで解くのはぜったい無理なので、上手い方法がある
のかどうかが気になっています。

よろしくお願い致します。

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■44539 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 球を円形に並べる方法

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□投稿者/ らすかる一般人(16回)-(2012/03/12(Mon) 18:33:49)

白3個、黒3個、赤2個のように回転対称にならない場合の円順列は、
一列に並べる場合の数を個数で割れば出ます。
（全部のパターンが8重複になるからです。）
(1)は結局同じですが、
(2)は(8C3×5C3)/8=70と計算できます。
(3)は、線対称のものがありますので誤りです。
赤白赤白黒黒黒白
赤白赤黒白黒白黒
赤黒赤黒白白白黒
赤黒赤白黒白黒白
赤白白白赤黒黒黒
赤白黒白赤黒白黒
は線対称ですね。

それぞれ3個の場合は回転対称になる場合があり、
120°回転対称となるパターンが3!通りですから、
円順列は(9C3×6C3-3!)/9+3!/3=188通りとなりますね。
こちらの場合は線対称にならないので、数珠順列は単純に2で割れます。

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■44543 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 球を円形に並べる方法

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□投稿者/ army 一般人(4回)-(2012/03/13(Tue) 12:32:32)

■No44539に返信(らすかるさんの記事)
> 白3個、黒3個、赤2個のように回転対称にならない場合の円順列は、
> 一列に並べる場合の数を個数で割れば出ます。
> （全部のパターンが8重複になるからです。）
> (1)は結局同じですが、
> (2)は(8C3×5C3)/8=70と計算できます。
> (3)は、線対称のものがありますので誤りです。
> 赤白赤白黒黒黒白
> 赤白赤黒白黒白黒
> 赤黒赤黒白白白黒
> 赤黒赤白黒白黒白
> 赤白白白赤黒黒黒
> 赤白黒白赤黒白黒
> は線対称ですね。
>
> それぞれ3個の場合は回転対称になる場合があり、
> 120°回転対称となるパターンが3!通りですから、
> 円順列は(9C3×6C3-3!)/9+3!/3=188通りとなりますね。
> こちらの場合は線対称にならないので、数珠順列は単純に2で割れます。

らすかるさん、いつもいつもありがとうございます。よく分かりました。
(3)は(70-6)/2＋6＝38通りでした。
回転対称であるかどうかということを仰いましたが、欲張りですがそれを
見分ける効率的な方法はあるのでしょうか。

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■44544 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 球を円形に並べる方法

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□投稿者/ らすかる一般人(17回)-(2012/03/13(Tue) 13:09:19)

回転対称になるかどうかは、個数の公約数でわかります。
3個ずつならば公約数は1と3ですから
「非回転対称」「1/3回転の回転対称」の2種類になります。
もし6個ずつだとすると、公約数が1,2,3,6ですから
「非回転対称」「1/2回転の回転対称」「1/3回転の回転対称」
「1/6回転の回転対称」の4種類に場合分けして考える必要があります。

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■44549 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 球を円形に並べる方法

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□投稿者/ army 一般人(5回)-(2012/03/14(Wed) 08:35:32)

なるほど、思いつきませんでした。蟠りがすっかり消え大変勉強になりました。
いつもご丁寧にありがとうございます。

解決済み!

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