数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[2]: 数学的帰納法 / Page: 0]

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■44490 / inTopicNo.1)

　数学的帰納法

□投稿者/ n 一般人(10回)-(2012/03/01(Thu) 16:47:27)

お世話になります。

ｎが自然数のとき、次の等式を数学的帰納法で証明せよ。
$2$(2n)!=2^n\cdot n!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)$
という問題なのですが、どのように証明すればよいか分かりません。
どなたか教えて頂けませんでしょうか。
よろしくお願い致します。

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■44491 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ シャロン一般人(5回)-(2012/03/01(Thu) 17:14:14)

2012/03/02(Fri) 12:40:12 編集(投稿者)
2012/03/01(Thu) 21:41:21 編集(投稿者)
2012/03/01(Thu) 21:41:01 編集(投稿者)

■No44490に返信(nさんの記事)

$2$(2n)!=2^n\cdot n!\cdot 1\cdot 3\cdot 5\cdot ...\cdot (2n-1)$ ...★とする。

$2$n=1$ のとき、
$2$(2n)!=(1\cdot2)!=2!=2$
$2$2^n\cdot n! \cdot\prod\limits_{i=1}^n(2i-1)=2^1\cdot1!\cdot1=2$
で★がなりたつ。

$2$n=k$ のとき、★が成り立つと仮定する。このとき、

$2$\{2(k+1)\}!$
$2$=(2k)!\cdot(2k+1)\cdot(2k+2)$
$2$=\{2^k\cdot k! \cdot\prod\limits_{i=1}^k(2i-1)\}\cdot(2k+1)\cdot(2k+2)$
$2$=2^k\cdot2\cdot k!\cdot(k+1)\cdot\{\prod\limits_{i=1}^k(2i-1)\}\cdot(2k+1)$
$2$=2^{k+1}\cdot (k+1)!\cdot\prod\limits_{i=1}^{k+1}(2i-1)$
となり、 $2$n=k+1$ のときにも、★が成り立つ。

したがって、数学的帰納法により、すべての正整数について、★は成り立つ。

QED

失礼しました。 $2$\prod$ はお察しの通り、総乗/乗積の記号です。

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■44492 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 数学的帰納法

▲▼■

□投稿者/ n 一般人(11回)-(2012/03/01(Thu) 18:05:47)

早速のご返信ありがとうございます。
$2$\prod$ は学習してなかったので焦りましたが、総乗だとわかりなんとか
理解する事ができました。
本当にありがとうございました。

解決済み!

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