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■44422 / inTopicNo.1) 　Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
  ▼■
□投稿者/ Lisa 一般人(1回)-(2012/01/30(Mon) 02:02:09)
    皆様よろしくお願い致します。

    配布プリントからの問題です。添付ファイルの9行目にて
    「Cauchyの積分定理によりI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))である。」(但し,Re(s)>1)
    がどうしても理解できません。
    Cauchyの積分定理とは
    「単純閉曲線Cで囲まれた内部の領域をDとおく。複素関数f(z)がC及びその内部Dで正則で且つその導関数が連続の時,∫_c f(z)dz=0が成り立つ」
    ですよね。これからどうしてI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))が言えるのでしょうか?
488×719 => 169×250

riemann_zeta_function__00.jpg/67KB
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■44423 / inTopicNo.2) 　Re[1]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(1回)-(2012/01/30(Mon) 05:58:38)
    C(δ)-C(δ')が単純閉曲線であることを見ればいいと思います。
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■44424 / inTopicNo.3) 　Re[2]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ Lisa 一般人(2回)-(2012/01/31(Tue) 11:03:05)
    有難うございます。

    > C(δ)-C(δ')が単純閉曲線であることを見ればいいと思います。

    添付ファイルのようになりましたが
    実軸部分では重なっているので少なくとも単純曲線ではありませんし、
    右端に無限に伸びているので閉曲線にもなっていませんよね。
    どうして単純閉曲線になるのでしょうか?
2739×1944 => 250×177

zeta_function01.jpg/154KB
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■44428 / inTopicNo.4) 　Re[3]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(2回)-(2012/01/31(Tue) 18:54:24)
    被積分関数が1価正則でないとCauchyの積分定理が使えないことはご存知ですか？
    被積分関数が1価正則となるような経路上で線積分しているので、C(δ)-C(δ')が単純閉曲線となります。
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■44429 / inTopicNo.5) 　Re[4]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ Lisa 一般人(3回)-(2012/02/01(Wed) 05:29:41)
    ご回答誠に有難うございます。

    > 被積分関数が1価正則でないとCauchyの積分定理が使えないことはご存知ですか？

    幾つか参考書を調べてみましたが1価でなければならないという記述は全くありませんでした。

    > 被積分関数が1価正則となるような経路上で線積分しているので、
    > C(δ)-C(δ')が単純閉曲線となります。

    添付ファイルのようにu^{s-1}/(exp(u)-1)が一価になる事は示せましたが
    実軸上の半直線(青(偏角は0)と赤(偏角は2π))が一致しない(一致したら最早単純曲線ではなくなりますので)事を示そうと試みましたが双方とも|u|/(exp|u|-1)と一致してしました。一体何処が間違っているのでしょう?

    あと,範囲は[ε,∞]ではなく[ε,∞)でいいのでしょうか?
1075×850 => 250×197

zeta_function03.jpg/170KB
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■44433 / inTopicNo.6) 　Re[5]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(3回)-(2012/02/02(Thu) 16:19:53)
    実軸の0以下の部分に切り目を入れたリーマン面上で積分していると思えばいいのでは…？
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■44516 / inTopicNo.7) 　Re[6]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ Lisa 一般人(3回)-(2012/03/06(Tue) 11:45:40)
    遅くなりまして大変申し訳ありません。

    C(δ)-C(δ')が単純閉曲線になっているのかチェックしてます。
    http://www.geocities.jp/sayori_765195/riemann_suface__00.jpg
    http://www.geocities.jp/sayori_765195/riemann_suface__01.jpg
    のように

    (1) 一葉目では無限遠から来て原点の周り半径δで一周,
    ↓
    (2) 一周し終わる瞬間に二葉目にjumpして無限遠に戻って行き,
    ↓
    (3) 三葉目では無限遠から来て原点の周り半径δ'で一周,
    ↓
    (4) 一周し終わる瞬間に四葉目にjumpして無限遠に戻って行く。

    となったのですがどうしてこれが単純閉曲線になっているのか分かりません。
    (2)から(3)にはどのようにして繋がっているのですか(無限遠ってどうなっているんですか)?

    そして同様に(4)から(1)にはどのようにして繋がっているのですか?
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■44535 / inTopicNo.8) 　Re[7]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(20回)-(2012/03/07(Wed) 22:44:50)
    ■No44516に返信(Lisaさんの記事)

    C(δ')も
    　　一葉目では無限遠から来て原点の周り半径δ'で一周,
    　　一周し終わる瞬間に二葉目にjumpして無限遠に戻って行き,…
    という経路ですよね？
    ということは、-C(δ')はその反対の経路なのでは？

    私もあまり詳しくないので、まだ疑問が噴出するのであれば、著者に直接聞いてみてはどうでしょう？
    その配布プリントは、この本http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11731-8/で、
    著者のメールアドレスは次のページに書いてあります。
    http://www.math.nagoya-u.ac.jp/ja/people/download/faculty/kohjimat.pdf
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■44567 / inTopicNo.9) 　Re[8]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ Lisa 一般人(4回)-(2012/04/03(Tue) 05:07:34)
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■44575 / inTopicNo.10) 　Re[9]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ Lisa 一般人(5回)-(2012/04/19(Thu) 07:40:17)
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■44576 / inTopicNo.11) 　Re[10]: Cauchyの積分定理にからI(s;C(δ))=I(s;C(δ'))となる理由
□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(22回)-(2012/04/20(Fri) 04:10:25)
    いいと思います。
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