数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[1]: 困っています / Page: 0]

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■44414 / inTopicNo.1)

　困っています

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□投稿者/ レ画一般人(1回)-(2012/01/25(Wed) 22:47:35)

y''+y=x

この微分方程式の一般解を級数解法によって求めよ。
という問題を教えてください。よろしくお願いします。

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■44454 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 困っています

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□投稿者/ みぃな一般人(1回)-(2012/02/21(Tue) 22:59:57)

ｘの１０じょう　÷Ｘの２じょう　ー３ｘ＋２

ができません汗
解説できたらおねがいします１

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■44455 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 困っています

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□投稿者/ vanilla bonica. 一般人(5回)-(2012/02/22(Wed) 02:23:24)

■No44454に返信(みぃなさんの記事)
> ｘの１０じょう　÷Ｘの２じょう　ー３ｘ＋２
>
> ができません汗
> 解説できたらおねがいします１

新しくスレを立てましょう。

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■44456 / inTopicNo.4)

　Re[1]: 困っています

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□投稿者/ のぼりん一般人(1回)-(2012/02/22(Wed) 21:58:22)

こんばんは。 $2$y = \sum_{n = 0}^\infty a_n x^n$ とおけば、
$2$ y'' = \sum_{n = 2}^\infty n (n - 1) a_n x^{n - 2} = \sum_{n = 0}^\infty (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} x^n$
です。従って、微分方程式 $2$y'' + y = x$ は、
$2$ \sum_{n = 0}^\infty \{ (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + a_n \} x^n = x$
と書けます。各項の係数を比較し、
$2$ 6 a_3 + a_1 = 1$
$2$ (n + 2) (n + 1) a_{n + 2} + a_n = 0 \quad (n \ge 2 , \; n = 0)$
です。 $2$a = a_0$ 、 $2$b = a_1 - 1$ を任意定数とすれば、
$2$ a_{2n} = (-1)^n \frac {a} {(2n)!} \quad (n \ge 0)$
$2$ a_{2n + 1} = (-1)^n \frac {b} {(2n + 1)!} \quad (n \ge 1)$
$2$ y = a \sum_{n = 0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n)!} x^{2n} + b \sum_{n = 0}^\infty \frac {(-1)^n} {(2n + 1)!} + x = a \cos x + b \sin x + x$
と一般解が得られました。

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