数学ナビゲーター掲示板 [One Topic All View / Re[12]: 方程式 / Page: 0]

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■44301 / inTopicNo.1)

　方程式

□投稿者/ テッサ一般人(3回)-(2011/12/09(Fri) 05:47:05)

|a^2-2・b^2|=1かつa+√2・b＞0
を満たす任意の整数a、bから得られる実数r=a+√2・b全体の集合をRとする。1より大きいRの要素で、最小のものを求めなさい。

いろいろ値を代入して調べてみたら、a=b=1の時のような気がしますが、これが最小になることをどうやって示せばよいのかがわかりません。そもそもこれでいいのかも…
考え方を教えてください。よろしくお願いします。

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■44302 / inTopicNo.2)

　Re[1]: 方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(35回)-(2011/12/09(Fri) 07:09:24)

a=0 のとき |a^2-2b^2|=1 を満たす整数bはない。
b=0 のとき |a^2-2b^2|=1 から a=±1 なので a+(√2)b=±1 となり
「1より大きい」という条件を満たさない。
a＞0, b＞0 のとき、条件を満たす整数で a+(√2)b が最小となるのは a=b=1
ab＜0 のとき
|a^2-2b^2|=|a+(√2)b||a-(√2)b|=1 で
|a-(√2)b|≧1+√2 だから |a+(√2)b|＜1 となり、条件を満たす整数はない。
よって答えはa=b=1のときでr=1+√2

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■44312 / inTopicNo.3)

　Re[2]: 方程式

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□投稿者/ テッサ一般人(4回)-(2011/12/10(Sat) 01:27:07)

前回に続き回答をありがとうございます。

少々確認させてください。

＞ab＜0 のとき
＞|a-(√2)b|≧1+√2

こちらについてです。
a＞0かつb＜0のときは、-b＞0なので、|a-(√2)b|はa=b=1のときに最小
a＜0かつb＞0のときは、-a＞0なので、|a-(√2)b|=|-a+(√2)b|は-a=b=1のとき最小
と場合分けしないと考えが追いつかなかったんですが、らすかる様はどうやてab＜0から|a-(√2)b|≧1+√2を考えられたのでしょうか？

ちなみにこの問題には(3)まであるんですが、こちらの記事にそのまま質問を続けさせていただいてもよろしいでしょうか？

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■44315 / inTopicNo.4)

　Re[3]: 方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(39回)-(2011/12/10(Sat) 05:25:35)

aとbは異符号だから|a-(√2)b|=|a|+(√2)|b|となり|a|=|b|=1のとき最小
と考えました。

>(3)まである
私が答えられるかどうかはわかりませんが、
続きの問題であればここに続けて書くのは問題ないと思います。

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■44317 / inTopicNo.5)

　Re[4]: 方程式

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□投稿者/ テッサ一般人(5回)-(2011/12/10(Sat) 12:13:10)

(1)はたいへんよくわかりました。ありがとうございます。

続けて(2)についても質問させてください。

(2)整数nとRの要素rに対し、r・u^nはRの要素であることを示しなさい。

n=0のときは自明でした。

nが自然数のときは、r・u^nがRの要素ならば、|a[n]^2-2・b[n]^2|=1かつa[n]+√2・b[n]＞0を満たすa[n]とb[n]に対して、r・u^n=a[n]+√2・b[n]とおけて、このとき、r・u^(n+1)=(a[n]+√2・b[n])(1+√2)=(a[n]+2b[n])+(a[n]+b[n])√2なので、a[n+1]=a[n]+2b[n]、b[n+1]=a[n]+b[n]とおいたら、たまたま|a[n+1]^2-2・b[n+1]^2|=1になったのですが、a[n+1]+√2・b[n+1]＞0の証明がわからないです。

しかもよくよく考えたらnは整数でしたので、nが負の整数の場合のことを考えたら、帰納法は失敗でした。でもほかの方法が思いつかないです。

(2)の証明を教えてください。よろしくお願いします。

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■44319 / inTopicNo.6)

　Re[5]: 方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(40回)-(2011/12/10(Sat) 20:52:11)

uが何だか書かれていませんが、
計算経過から考えるとu=1+√2でしょうか。
a[n+1]+(√2)b[n+1]＞0 は
a[n+1]+(√2)b[n+1]=(a[n]+(√2)b[n])u から明らかです。
また、負の整数があっても帰納法は使えます。
r・u^nからr・u^(n-1)も示せば良いのです。
同じように示せますね。

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■44322 / inTopicNo.7)

　Re[6]: 方程式

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□投稿者/ テッサ一般人(6回)-(2011/12/11(Sun) 02:03:43)

回答をたくさんしてくださってありがとうございます。

＞uが何だか書かれていませんが

最初の問題で、「最小のものuを求めなさい。」となっていました。大変失礼しました。

いろいろ調べてみたのですが、帰納法が負の整数に対しても使える例がどうにも見当たりませんでした。

＞r・u^nからr・u^(n-1)も示せば良いのです。

どうしてnの場合からn-1の場合を示せばよいのですか？n=-1の場合が真ならn=-2の場合も真、n=-2の場合が真ならn=-3の場合も真、…と一個前の整数の場合に順々に遡ってくれることになるのですか？

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■44324 / inTopicNo.8)

　Re[7]: 方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(42回)-(2011/12/11(Sun) 06:21:13)

そうなります。正の場合と逆向きになるだけのことです。
「次」「前」と考えるから不自然に思うのではないでしょうか。
nからn+1を示せばnの増加方向、
nからn-1を示せばnの減少方向に成り立つことが示されますから
方向の正負が違うだけで同じ意味です。

どうしても不自然に思えるのでしたら、
f(m)=r・u^(n-m) とおいて
「m=kのとき成り立てばm=k+1の時に成り立つ」ことを示せば
普通の数学的帰納法に見えますよね。

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■44325 / inTopicNo.9)

　Re[8]: 方程式

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□投稿者/ テッサ一般人(7回)-(2011/12/11(Sun) 17:25:46)

大変よくわかりました。とても参考になります。ありがとうございます。

最後に(3)についても質問させてください。

(3)Rの任意の要素rは適当な整数mによって、r=u^mと書けることを示しなさい。

Rの要素はすべてu=1+√2を何乗かして作られている、ということを証明する問題((2)の逆？)だと思うんですが、mについて帰納法で証明してはみたものの、なんか考え違いしているような気がしてきました。適当な整数とは任意の整数という意味と違うのでしょうか？

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■44326 / inTopicNo.10)

　Re[9]: 方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(43回)-(2011/12/12(Mon) 00:42:23)

適当な整数と任意の整数は違います。
Rの要素rに対してr=u^mとなる整数mが存在するという意味です。
「Rの要素はすべてu=1+√2を何乗かして作られている」という認識は正しいです。
「(2)の逆」ではないですが。

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■44330 / inTopicNo.11)

　Re[10]: 方程式

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□投稿者/ テッサ一般人(8回)-(2011/12/12(Mon) 02:38:56)

＞適当な整数と任意の整数は違います。

調べてみましたが、任意は「常に成り立つ」で、適当は「成り立つこともあれば成り立たないこともある」、という理解でよいでしょうか？それで(3)においては、mについての帰納法では、u^mの形で表される数がRの要素になることがいえるだけで、Rの要素はすべてu^mの形で表されることの証明になっていないような気がしてきました。帰納法は使えないですよね？

＞「Rの要素はすべてu=1+√2を何乗かして作られている」という認識は正しいです。
「(2)の逆」ではないですが。

たとえば3+√2はRの要素で、3+√2=(1+√2)^2なので、u^2で表せますが、このようにほかのすべての要素も(1+√2)^mの形になるということの証明でよいとのことですが、見たことがない証明でなかなか難しいです。

Rの要素は(2)の途中に出てきた漸化式、a[n+1]=a[n]+2b[n]、b[n+1]=a[n]+b[n]を満たすa[n]とb[n]に対して、a[n]+√2・b[n]と置けるので、a[n]とb[n]を求めて、a[n]+√2・b[n]を(1+√2)^mの形に因数分解しようとしましたが、うまくいかないです。(3)を解くにはどの条件に着目するんでしょうか？

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■44333 / inTopicNo.12)

　Re[11]: 方程式

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□投稿者/ らすかる一般人(47回)-(2011/12/12(Mon) 08:35:02)

(1)(2)が誘導問題になっていますね。
「Rの任意の要素rは適当な整数mによって、r=u^mと書ける」
⇔「u^mと書けないrが存在するとしたら矛盾が生じる」を示します。
u^mはすべてRの要素でu^mは無限に大きくなる増加数列ですから
もしu^mと書けないrが存在するとしたら u^k＜r＜u^(k+1) となるkが存在します。
このとき辺々にu^(-k)を掛けると1＜r・u^(-k)＜uとなります。
(2)からr・u^(-k)もRの要素ですが、これは(1)に矛盾しますね。

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■44335 / inTopicNo.13)

　Re[12]: 方程式

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□投稿者/ テッサ一般人(9回)-(2011/12/12(Mon) 16:13:02)

このたびは大変ご親切にありがとうございました。大変よくわかりました。

解決済み!

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